Путешествие в квантовую механику

Игорь А. Мерзляков

Квантовая физика не может не притягивать своей загадочностью. Предлагаем Вам окунуться в этот удивительный предмет науки. В настоящем исследовании, опираясь на общее аналитическое решение уравнения Шрёдингера, нам предстоит изучить целый ряд явлений и процессов, происходящих на уровне мельчайших взаимодействий. Обобщив положения о волновой функции, мы заглянем за ширму эксперимента с двумя щелями, проанализируем мир атомов и молекул, а также рассмотрим другие вопросы. Пора отправляться в путь!

2. О фундаментальных законах физики

В этой главе будут рассмотрены два метода, с помощью которых можно сформулировать тот или иной физический закон, описывающий явления и процессы, происходящие в природе. Первый метод построен на исследовании дифференциальных соотношений, дающих математическое обоснование физической реальности, а второй неразрывно связан с определением зависимостей в заданном наборе функций. Последние могут быть получены опытным путём или найдены в результате экстраполяции значений, входящих в состав решения того или иного дифференциального уравнения.

Справедливость методов, которые сформулированы на основе анализа экспериментальных данных, изначально можно поставить под сомнение. Однако, применяя эмпирический подход на практике, возможно дать математическое обоснование целому ряду физических явлений и процессов, происходящих в природе.

Начнём этот раздел с вывода уравнения Шрёдингера. Методика, которая позволяет определить корреляции между величинами, входящими в состав указанного уравнения, носит интуитивный характер. Примечательно, что данное допущение не является ошибочным.

2.1 Вывод уравнения Шрёдингера

В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Исходя из гипотезы де Бройля, каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причём соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения веществом. На комплексной плоскости полную энергию E_p` и импульс частицы P` возможно выразить через круговую частоту ν, длину волны λ и постоянную Планка h, тогда:

где k`=1/λ; ħ=h/ (2π) — приведённая постоянная Планка.

В первую очередь сформулируем закон сохранения энергии для волны де Бройля. Величина E_p` представляет собой сумму кинетической E_k и потенциальной U_p (x,y,z) энергии, следовательно:

здесь M — масса частицы; T``` — период волны Де Бройля.

Длину волны Де Бройля можно выразить через скорость υ, тогда λ=υ/ν.

Вывод уравнения Шрёдингера следует производить в трёхмерном пространстве C³, но для упрощения вычислений будем использовать одномерную систему координат. Закон сохранения энергии, составленный для волны Де Бройля на комплексной плоскости, можно представить в виде тождества:

Кроме того

где t — время, а x — координата.

В результате математических преобразований, разобранных в данном параграфе, был найден дифференциальный оператор, который представляет собой закон сохранения энергии, выраженный для волны Де Бройля. Таким образом, необходимо ввести новую переменную под знаки производных. Искомую величину принято обозначать как волновую функцию ψ_p, тогда:

Данное дифференциальное уравнение с частными производными было названо в честь Эрвина Шрёдингера.

Исходя из полученного выражения, можно определить оператор импульса P`, следовательно:

2.2 Эмпирический метод

Обычно с изучением школьной программы принято «брать на веру» справедливость основных положений, позволяющих осуществить вывод фундаментальных законов физики. Для того чтобы выполнить дальнейшие математические преобразования, необходимо определить понятие «зависимости физических величин». Последние могут быть выражены через изменение прочих независимых переменных.

Исходя из формулировки о зависимости величины F от функций f_j (x_j), полученных для переменных x_j, заданные выражения f_j (x_j) следует перемножать между собой только в том случае, когда они окажутся независимыми. Иначе говоря, изменение функции f_j (x_j) будет происходить без взаимного влияния её значений на другие выражения f_o (x_o), o≠j. Потребуем, чтобы количество независимых переменных соответствовало коэффициенту N``. Итак, соотношение F можно представить в виде тождества (2.1). Параметр γ_j будет численно равен константе (+1 или — 1), которая представляет собой степень функции f_j (x_j) ^γj, тогда:

Наглядным примером применения эмпирического подхода на практике является закон Кулона, полученный для силы электростатического взаимодействия. Таким образом, следующие выражения могут быть заданы как независимые между собой функции:

f₁ (x₁) — произведение зарядов q₁q₂;

f₂ — коэффициент пропорциональности K;

f₃ (x₃) — квадрат расстояния между частицами f₃ (x₃) = r₁-r₂ ²;

r_κ — радиус-вектор, построенный из начала координат в точку с зарядом q_κ, κ=1,2.

Хорошо известно, что сила Кулона прямо пропорциональна f₁ (x₁) и f₂ (γ₁=γ₂=1), но обратно пропорциональна f₃ (x₃) (γ₃=-1).

Запишем закон Кулона, вид которого можно получить из анализа экспериментальных данных, следовательно:

Если величины f_j (x_j) и g_j (x_j) окажутся взаимно зависимыми, то справедливым будет тождество:

Функции f_j (x_j) и g_j (x_j) могут носить более сложный математический характер, нежели степенные выражения. Довольно часто с помощью эмпирического метода невозможно описать тот или иной закон природы, тогда исследователи прибегают к составлению дифференциальных уравнений. Разрешить последние иногда бывает затруднительно вследствие невысокой производительности современных компьютеров. В подобных случаях используют суперкомпьютеры.

В следующей главе этой книги будет рассмотрен метод, направленный на решение дифференциальных уравнений с частными производными.