Готовые дидактические материалы для тренировки устного счета: теорема Виета. 600 примеров

Дмитрий Юрьевич Усенков, 2020

Теорема Виета позволяет быстро находить решения квадратных уравнений, не прибегая к вычислениям с использованием дискриминанта, однако учебно-методических материалов для отработки навыков поиска корней по формуле Виета имеется крайне мало. Данное пособие призвано хотя бы частично устранить этот дефицит и содержит 600 готовых примеров квадратных уравнений с целыми корнями, а также ответы на эти примеры для проверки и самоконтроля. Пособие предназначено для учителей математики, школьников и их родителей.

Теорема Виета (краткие теоретические сведения)

Формулировка теоремы Виета:

Сумма корней x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Таким образом, если уравнение x² + bx + c = 0 имеет два корня: x₁ и x₂, то справедливы следующие два равенства:

Согласно этим равенствам, для получения решения квадратного уравнения необходимо подбором найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение равно свободному члену. Следует заметить, что при этом исходное квадратное уравнение должно быть приведено к виду, когда коэффициент a при x² равен единице.

Доказательство теоремы Виета

Докажем теорему Виета.

Формулы для вычисления корней квадратного уравнения (рассматривается ситуация, когда дискриминант D положителен; уравнение с нулевым дискриминантом можно считать частным случаем):

Вычислим сумму этих корней:

Раскрыв скобки и сократив слагаемые, получаем:

.

Вычислим произведение корней:

Применив в числителе формулу разности квадратов, получаем:

Подставляем известную нам формулу для вычисления дискриминанта:

Получаем:

Таким образом, оба равенства теоремы Виета доказаны.

Обратная теорема Виета

Формулировка обратной теоремы Виета:

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x² + bx + c = 0.

Доказательство обратной теоремы Виета читатели могут произвести самостоятельно.