Невероятная теория вероятностей

Дмитрий Кудрец

В книге рассказывается об основных законах теории вероятностей, приводятся интересные факты, примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения.Книга рекомендована для учащихся и учителей школ, гимназий, лицеев для организации работы на уроке, подготовке к ЕГЭ, а также для самостоятельного изучения материала.

Немного о случайных событиях

Ученику седьмого класса Владимиру Савельеву совершенно не хотелось идти к репетитору по математике. С большим удовольствием он бы погонял мяч с ребятами во дворе. Но с футболом у Владимира Савельева все было в порядке, в отличие от математики, по которой он периодически получал двойки.

Спорить с мамой было бесполезно и, скрепя сердце, Вовка отправился на занятия. Погода была великолепная, а настроение противное.

— И почему этот репетитор живет в соседнем доме? — возмущался Вовка. — Вот бы было замечательно, если бы он жил на другом конце города. Тогда можно было бы как бы случайно опоздать на занятия. Вроде и пришел, а уже домой пора.

Так, рассуждая, Вовка не заметил, как очутился посреди лужи.

— И откуда она тут взялась? — недоумевал Вовка. — Дождя не было почти неделю.

Первое, что пришло Вовке в голову — это развернуться и пойти домой, тем более что для этого у него уже была уважительная причина. Но предчувствуя нерадостный разговор с мамой, Вовка вылез из лужи и нехотя направился к соседнему дому.

Также нехотя он поднялся на второй этаж и также без особого энтузиазма нажал кнопку звонка. За дверью что-то жалобно заурчало.

— Хоть бы профессора не было дома, — тешил себя последней надеждой Вовка.

Но дверь открылась, и Вовкина надежда испарилась, так утренний туман.

На пороге стоял профессор. Хотя какой он был профессор? Обычный учитель математики. Иван Петрович. Профессором его прозвал Вовка. Вовка вообще называл профессорами всех, кто был умнее его.

— Здрасьте, — грустно пробормотал Вовка, убирая палец со звонка.

— Добрый день, молодой человек, — ответил Иван Петрович, внимательно осматривая посетителя. — Проходите.

Вовка сделал шаг вперед.

— Разуваться не обязательно, хотя… — Иван Петрович бросил взгляд на Вовкины мокрые кроссовки. — Хотя, вам не мешало бы переобуться во что-нибудь сухое.

Профессор достал из шкафа тапочки и протянул их Вовке.

— И где только ты умудрился промочить ноги?

— Да так, — отмахнулся Вовка. — Так получилось.

— Ну-с, молодой человек, переобувайтесь и проходите в комнату.

Вовка неохотно последовал за Иваном Петровичем. Вошел в комнату и замер. Все стены от пола до потолка были заняты полками с книгами.

— Ничего себе! — удивленно пробормотал Вовка. — Неужели Вы все это прочитали?

— Почти, — улыбнулся Иван Петрович. — Присаживайся.

И Иван Петрович пододвинул Вовке стул. Вовка послушно сел.

— Ну-с, с чего начнем? — Иван Петрович сел напротив Вовки.

Вовка нерешительно пожал плечами.

— Я так понимаю, что у вас возникли проблемы с математикой? — предположил Иван Петрович.

— Как вы догадались? — удивился Вовка.

— Иначе бы ты ко мне не пришел, — Иван Петрович снова улыбнулся.

— Проблемы! — согласился Вовка. — Да еще какие!

— А еще, — добавил профессор, — у тебя вдобавок проблемы с вниманием.

— В каком смысле? — не понял Вовка.

— Промочить ноги в такую сушь! И где ты только умудрился отыскать лужу? Невероятно, но факт!

— Факт, — подтвердил Вовка.

— Но я немного отвлекся, — Иван Петрович достал из ящика стола стопку бумаги. — Перейдем непосредственно к делу, то есть к математике. Ну, так что вы теперь проходите?

— А так, — махнул рукой Вовка. — Какую-то теорию вероятности.

— Просто замечательно! И что ты можешь мне о ней рассказать?

— Ну, — Вовка напряг мозг, пытаясь вспомнить, о чем говорили в школе, — теория вероятности изучает… Изучает… Вероятность…

— Не совсем точно, — покачал головой Иван Петрович. — Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений или событий, их свойства и действия над ними. Основными объектами теории вероятностей являются случайные величины или случайные события. В жизни мы постоянно сталкиваемся со случайными явлениями. К примеру, то, что ты сегодня попал в лужу — это случайность. Но, если допустить то, что ты по пути сюда считал ворон и просто не заметил лужи, то эту случайность можно считать закономерностью. Все события можно условно разделить на достоверные и невозможные. Если при испытании событие произошло, то такое событие можно считать достоверным. А если при испытании событие произойти не может, то оно считается невозможным. Я понятно объясняю?

— Вроде да, — согласился Вовка.

— А если, — продолжил Иван Петрович, — событие не является достоверным или невозможным, то оно называется случайным. Следует отметить, что теория вероятностей изучает не всякие события, а только те, которые рассматриваются в рамках исследования. Самый простой пример — подбрасывание монеты. Здесь рассматриваются два варианта — монета упадет орлом вверх или монета упадет вверх решкой…

— Но ведь монета может упасть и на ребро, — возразил Вовка, — или закатиться под стол…

— Вполне допустимо, — согласился Иван Петрович, — но в данном эксперименте мы эти случаи не рассматриваем. Понятно?

— Не очень, — покачал головой Вовка.

— Хорошо! — Иван Петрович тяжело вздохнул. — Попробуем иначе. Какой сегодня день недели?

— Вторник.

— Следовательно, то, что сегодня вторник — достоверное событие. Согласен?

— Согласен.

— А то, что завтра будет четверг…

— Невозможное событие, — предположил Вовка.

— Совершенно верно. Но если предположить, что по каким-то причинам сегодня отменят среду, то завтра наступит четверг и это событие будет…

— Случайным! — радостно воскликнул Вовка.

— Вы абсолютно правы, молодой человек. Рассмотрим другой случай. Ты любишь играть в футбол?

— А как же!

— Когда ты забиваешь гол — это какое событие? Достоверное, невозможное или случайное?

— Если гол уже забит, то это, скорее всего достоверное событие, — рискнул предположить Вовка.

— А если перед воротами стоит кирпичная стена, сможешь ли ты забить гол?

— Пробить мячом стену! — воскликнул Вовка. — Это ж сколько нужно силы! Нет, такое невозможно! Если только мяч случайно не перелетит стену или кто-нибудь не поможет…

— Но мы рассматриваем только голы, забитые тобою лично.

— Тогда это невозможно!

— Но элемент случайности все-таки не исключается, — улыбнулся Иван Петрович. — Ну, я думаю на сегодня достаточно. Продолжим в следующий раз. Надеюсь, что в следующий раз ты будешь более внимательным и обойдешь злополучную лужу.

— Я тоже надеюсь, — грустно вздохнул Вовка.

Попрощавшись с профессором, Владимир Савельев отправился домой. Разумеется, он не все понял из объяснений Ивана Петровича, но Вовка утешал себя, что это всего лишь первый раз. В дальнейшем, возможно, будет более понятно. И что более всего радовало семиклассника Владимира Савельева, что профессор не оказался обычным занудой, не мучил Вовку кучей задач и зубрежкой никому не понятных определений и формул.