Невероятная теория вероятностей

Дмитрий Кудрец

В книге рассказывается об основных законах теории вероятностей, приводятся интересные факты, примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения.Книга рекомендована для учащихся и учителей школ, гимназий, лицеев для организации работы на уроке, подготовке к ЕГЭ, а также для самостоятельного изучения материала.

Вероятность событий

Следующее занятие Иван Петрович начал с вопроса:

— Надеюсь, сегодня обошлось без лужи?

— Без лужи, — подтвердил Вовка.

— Прекрасно! Тогда давай вспомним, о чем шла речь в прошлый раз.

— О событиях, — ответил Вовка, — достоверных, невозможных и случайных.

— Хорошо, — Ван Петрович удовлетворенно потер ладони. — А вот тебе задачка для разминки: ты стреляешь из лука по мишени. Какие события здесь можно рассматривать как достоверные, невозможные или случайные?

— Ну… — Вовка задумался. — Если я попадаю в мишень, то это будет достоверным событием. Так?

— Да.

— Если моя стрела угодит в солнце, то это невозможное событие. Так?

— Хороший пример, — согласился Иван Петрович.

— А если я вместо мишени попаду себе в ногу, то это, наверное, случайное событие или я ошибаюсь?

— Если бы ты просто стрелял из лука, — пояснил Иван Петрович, — то это было бы достоверным событием и к тому же очень неприятным. Но мы рассматриваем стрельбу по мишени, поэтому попадание в ногу — это событие случайное, хотя маловероятное.

— Что значит маловероятное? — не понял Вовка.

— Кроме событий, одним из главных понятий теории вероятности является вероятность. Не сомневаюсь, что ты часто слышал это слово. Вероятно, завтра пойдет дождь или это просто невероятно! В математике вероятность дает числовую оценку вероятности того, что произойдет какое-то событие. Вероятность достоверного события оценивается как единица, вероятность невозможного события равна нулю. Хотя не исключено, что и в том и ином случае событие может быть случайным.

— И чему тогда равна его вероятность?

— Вероятность события зависит от числа благоприятных исходов испытания и общего числа испытаний. Вероятность обозначают Р (А), где А — исследуемое событие. В теории вероятностей события принято обозначать латинскими буквами. Так вот вероятность этого события Р (А) =n/m, где n — число благоприятных испытаний или исходов, а m — общее число испытаний. Эта формула называется классическим определением вероятности. Число благоприятных исходов не может быть больше, чем общее число испытаний, а это значит, что вероятность любого случайного события удовлетворяет неравенству 0 <P (A) <1.

Вовка нахмурился.

— Поясню на примере, — от Ивана Петровича не ускользнуло Вовкино недовольство формулами. — Допустим в урне находится 3 черных и 7 белых шаров. Ты наугад вынимаешь из урны один шар. Какова будет вероятность того, что этот шар черный?

— Пятьдесят на пятьдесят, — не задумываясь ответил Вовка.

— И тут вы, молодой человек, ошибаетесь!

— Как ошибаюсь? — возмутился Вовка. — Если я наугад вынимаю один шар, то он может быть либо белым, либо черным. То есть, пятьдесят на пятьдесят…

— Да, если в урне всего два шара — белый и черный, — согласился Иван Петрович. — Но в урне 10 шаров. И только три из них черных. Следовательно, вероятность того, что вынутый шар черный равна 3:10=0,3.

— Вот оно как! — задумчиво протянул Вовка. — Оказывается, тут не все так просто…

— Не все. И вот тебе еще одна задачка: в коробке лежат 20 шаров: 10 красных, 2 желтых и 8 синих. Наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар желтый?

— Ну, это легко! — заулыбался Вовка. — Всего в коробке 20 шаров. Из них желтых всего два. Значит, вероятность вытянуть желтый шар равна 2:20=0,1.

— Ты совершенно прав! — похвалил Вовку Иван Петрович.

— Давайте что-нибудь посложнее, — попросил Вовка.

— Хорошо. Вот задачка посложнее. На экзамен вынесено 60 вопросов, Петя не выучил 12 из них. Найти вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

— Это проще простого! — воскликнул Вовка. — 12:60=0,2.

Иван Петрович улыбнулся.

— Нужно быть внимательным. Нужно найти вероятность того, что Пете попадется выученный вопрос, а ты нашел вероятность невыученных.

— Тогда, — Вовка поспешил исправиться. — Петя выучил 60—12=48 вопросов. Отсюда вероятность равна 48:60=0,2.

— Теперь правильно.

— Но ведь ответ получился тот же! — возмутился Вовка.

— Но решение было неверным, — возразил Иван Петрович. Вовка спорить не стал.

— Еще задачку? — предложил Иван Петрович.

— Давайте, — нехотя согласился Вовка.

— На карточках записаны числа от 1 до десяти. Найти вероятность того, что на взятой наугад карточке написано четное число.

— Так, — Вовка попытался сосредоточиться, чтобы еще раз не допустить ошибки. — Карточек всего десять. С четными числами всего 5 карточек. Это 2, 4, 6, 8 и 10. Значит, вероятность вытащить карточку с четным числом равна 5:10=0,5. Правильно?

— Правильно. Ну, еще задачку?

— Ну, если только одну, — Вовка взглянул на часы. — Мне еще уроки на завтра учить. Только давайте задачку посложнее.

— Хорошо. За круглым столом в случайном порядке рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найти вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

— И это сложная задачка? — удивился Вовка. — Девочек всего две. Стульев 17. Отсюда вероятность того, что девочки будут сидеть рядом равна 2 разделить на 17… Стоп! Два на 17 не делится! И в чем подвох?

Вовка задумался.

— Девочек две. Стульев 17. Стол круглый… Я, кажется, понял! Девочка ведь не может сидеть рядом сама с собой! Значит, свободных стульев остается 16. 2 разделить на 16 получится 0,125. Я правильно решил?

— Несомненно, — подтвердил Иван Петрович. — Ты просто молодец. И главная твоя заслуга не в том, что ты правильно решил задачку, а в том, что ты самостоятельно исправил свою ошибку.

— Жаль, что мне уже пора домой, — огорченно вздохнул Вовка. — А так бы мы еще позанимались…

— Я это предусмотрел. Вот тебе задачки. Решишь дома на досуге. А в следующий раз мы их проверим.

И Иван Петрович протянул Вовке листок бумаги.

— Кстати, — проговорил Иван Петрович, провожая Вовку до двери, — если ты подбросишь монету миллион раз, то 150 раз на упадет на ребро. А вероятность угадать в лотерее 6 номеров из 45 равна 1/8145060.

Вовка попрощался с профессором и отправился домой. Придя домой, она развернул листок.

— Уважаемый ученик седьмого класса Владимир Савельев, предлагаю вам потренировать свой мозг и найти ответы на следующие задания. На всякий случай на обратной стороне даются ответы. Желаю удачи!

Задача 1. В копилке лежит 3 рублёвых, 6 двухрублёвых, 2 пятирублёвых и 4 десятирублёвых монеты. Вася наугад достаёт из копилки одну монету. Найти вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 60 рублей.

Задача 2. За четыре дня на заводе запланировано собрать 60 телевизоров. В первые два дня запланировано выпустить по 14 телевизоров. Остальные запланировано собрать поровну в третий и четвертый день. Какова вероятность того, что в последний день один из телевизоров окажется неисправным?

Задача 3. Монету подбрасывают трижды. Найти вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Задача 4. Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

Конец ознакомительного фрагмента.