Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Юрий Вениаминович Красков, 2021

В данной книге показано, как знаменитая научная проблема под названием «Великая теорема Ферма» позволяет раскрывать несостоятельность и недееспособность науки, в которой арифметика по разным историческим причинам лишилась статуса первоосновы всех знаний. Необычный жанр книги назван в ней самой "Научный блокбастер", что означает сочетание остросюжетного повествования в стиле художественной прозы с отдельными фрагментами чисто научного содержания.

4. Великая теорема Ферма

4.1. Тернистый путь к истине

4.1.1. ВТФ до сих пор остаётся недоказанной

Учёный мир впервые узнал о ВТФ после первой публикации в 1670 г. «Арифметики» Диофанта с замечаниями Ферма, (см. рис. 3 и рис. 96 из Приложения V). И с той поры, т.е. в течение трёх с половиной столетий, наука никак справиться с этой задачей не может. Более того, может быть именно поэтому ВТФ и стала объектом беспрецедентной фальсификации в истории математики. В этом очень легко убедиться, поскольку основные доводы «доказательства» ВТФ 1995 г. хорошо известны и выглядят следующим образом.

Если бы ВТФ была неверна, то существовала бы эллиптическая «кривая Фрая» (???) y²=x(x−aⁿ)(x+bⁿ), где aⁿ+bⁿ=cⁿ. Но Кеннет Рибет (Kenneth Ribet) доказал, что такая кривая не может быть модулярной. Следовательно, достаточно получить доказательство гипотезы Танияма — Симура о том, что все эллиптические кривые должны быть модулярны, чтобы оно стало и доказательством ВТФ. Его предоставил в 1995 году Эндрю Вайлс, который и стал первым учёным, якобы доказавшим ВТФ.

Однако на поверку оказывается, что «кривая Фрая» и вместе с ней работы Рибета и Вайлса вообще никакого отношения к ВТФ не имеют!!!⁴⁴ А по части «доказательства» Э. Вайлса гипотезы Танияма — Симура, он и сам признал⁴⁵, что нужно очень много учиться, (естественно, у Вайлса), чтобы понимать все его нюансы, изложенные аж на 130 страницах (!!!) научного журнала «Annals of Mathematics». Вполне естественно, что после появления столь экзотического «доказательства», учёные от такого издевательства над наукой никак не могут прийти в себя, Интернет изобилует всякими опровержениями⁴⁶, и нет никаких сомнений в том, что какого-либо общепризнанного доказательства ВТФ до сих пор так и не существует.

Особая значимость ВТФ состоит в том, что, по сути, это один из простых случаев сложения степеней, когда только сумма двух квадратов может быть квадратом, а для более высоких степеней такое сложение невозможно. Однако согласно теореме Варинга-Гилберта, любое натуральное число, (в т. ч. и целая степень), может быть суммой одинаковых, (или таких же), степеней⁴⁷. И вот эта, куда более сложная и не менее фундаментальная теорема была доказана значительно раньше, чем ВТФ.

Отметим также и тот факт, что ВТФ привлекает к себе особое внимание вовсе не потому, что эта задача простая на вид, но очень трудная для решения. Есть и значительно более простые на вид задачи, которые не то, чтобы решить, но и как подступиться к ним никто толком не знает⁴⁸. ВТФ особенно выделяется среди других задач тем, что попытки найти её решение приводят к бурному росту новых идей, которые становятся импульсами для развития науки. Однако на этом пути было столько всего наворочено, что даже и в очень объёмистых исследованиях всё это не удается систематизировать и объединить⁴⁹.

Великие учёные не придавали особого значения построению основ науки, видимо считая такое творчество чисто формальным делом, но вековые неудачи с доказательством ВТФ указывают на то, что они недооценивали значимость такого рода исследований. Теперь же, когда выяснилось, откуда мог взяться такой эффективный инструмент науки, как метод спуска, а также и другие инструменты, основанные на понимании сущности числа, становится ясно, почему Ферма так явно превосходил в арифметике других математиков, а его оппоненты издавна и до сих пор находятся в полнейшем недоумении от этого очевидного факта.

Здесь мы подходим к тому, что главная причина неудач в поисках доказательства ВТФ кроется в различии подходов к решению задач у Ферма и других учёных, а также в том, что в части основ арифметики даже современная наука не достигла знаний, которыми ещё в те далёкие времена располагал Ферма. Эту ситуацию нужно исправлять, поскольку иначе ВТФ так и будет продолжать дискредитировать всю науку.

В исследованиях на тему ВТФ одним из основных был вопрос о том, какой метод применил Ферма для доказательства этой теоремы? Мнения были самые разные, а чаще всего предполагалось, что это был метод спуска, но тогда сам Ферма вряд ли назвал его «поистине удивительное доказательство». Также не мог он применить и метод Куммера, от которого был получен наилучший результат в доказательстве ВТФ за последние 170 лет. Но может быть у него, кроме метода спуска, были ещё и другие методы?

Да, действительно и об этом в подробностях рассказывает в своем трактате «Новое открытие в искусстве анализа» Жак де Бильи (Jacques de Billy) [36]. Там он подробно излагает методы Ферма, позволяющие ему находить сколько угодно решений в системах из двух, трех и большего числа уравнений, а его предшественники Диофант, Баше и Виет в лучшем случае находили лишь одно решение. После демонстрации методов Ферма для решения двойных равенств Бильи указывает и на главный вывод, который отсюда следует: Этот род действий служит не только для решения двойных равенств, но и для любых других уравнений.

Теперь остается лишь выяснить, как можно использовать систему из двух уравнений для доказательства ВТФ? Очевидно, что математики просто не обратили внимания на такую явную подсказку со стороны Ферма или не поняли её смысла. Но для нас-то это не проблема, мы ведь можем заглянуть в тайник и покопаться в «еретических письменах»! Опираясь на то, что нам уже удалось восстановить из работ Ферма, мы можем теперь приступить к раскрытию и этой величайшей тайны науки, указав ещё и на эффективный метод, позволяющий решить проблему доказательства ВТФ.

Как это ни удивительно, суть этого метода оказалась довольно проста. В случае, когда есть столько уравнений, сколько в них неизвестных, то такая система решается путем обычных подстановок. Но если есть лишь одно уравнение с несколькими неизвестными, то бывает очень трудно установить, может ли оно вообще иметь какие-то решения в целых числах. В этом случае числа, предполагаемые как решения, можно выразить в виде ещё одного уравнения, под названием «Ключевая формула», и тогда результат можно получить через решение системы из двух уравнений. Похожие приёмы, когда одни числа выражаются через другие, применялись математиками всегда, но суть ключевой формулы в другом — она формирует именно то число, которое отражает суть проблемы, и это очень упрощает путь к решению исходного уравнения. В таких подходах и методах, опирающихся на понимание сущности числа, собственно, и заключается основное превосходство Ферма над другими учёными⁵⁰.

Чтобы стало возможно следовать по тому пути, который когда-то уже был проложен Ферма, нужно найти начальное звено из цепи событий, приводящих к появлению ВТФ, иначе шансов на успех будет крайне мало, т.к. всё остальное уже исхожено вдоль и поперёк. И вот если мы именно так поставим вопрос, то неожиданно обнаружим, что это самое начальное звено ещё с 1670 года было у всех на виду, однако с тех самых пор, никто на него ровным счётом никакого внимания не обращал. А ведь речь идёт о той самой задаче под номером 8 из книги II «Арифметики» Диофанта, к которой и было написано замечание Ферма, ставшее затем знаменитой научной проблемой. Все-то думали, что эта простая на вид задачка никаких сложностей для науки не представляет и только один Ферма был иного мнения и много лет трудился над её решением. В итоге он не только его получил, но в придачу к этому обеспечил своему имени неувядаемую мировую славу.

4.1.2. Задача Диофанта

Книга под названием «Арифметика» Диофанта очень старая, но вероятно она появилась не в III, как это считалось до недавнего времени, а в XIV или XV столетии. По тем временам, когда ещё не было печатных изданий, это был очень внушительный по объёму манускрипт, состоящий из 13 книг, из которых только шесть дошли до нас. В сегодняшнем печатном виде — это совсем небольшая книжка объёмом чуть более 300 стр. [27, 2].

В 1621 году во Франции появилось издание этой книги на греческом языке оригинала с латинским переводом и замечаниями издателя, которым был Баше де Мезириа́к (Bachet de Méziriac). Это издание стало основой для работ Ферма по арифметике. Содержание книги составляют 189 задач и для всех даны решения. Среди них есть как довольно простые, так и очень трудные задачи. Но поскольку они решены, то создаётся ложное впечатление о том, что эти задачи не образовательные, а скорее развлекательные, т.е. они нужны не для того, чтобы формировать науку, а для проверки на сообразительность. В те времена по-другому и быть не могло, поскольку даже просто грамотных людей, умеющих читать и писать, было наперечёт.

Однако с точки зрения научной значимости представленных здесь задач и их решений, создание такой книги, не то, что средневековому Диофанту, но и всем учёным за всю обозримую историю было бы абсолютно невозможно. Более того, даже хотя бы должным образом усвоить содержание «Начал» Евклида и «Арифметики» Диофанта стало непосильной задачей для всей нашей науки. Тогда, естественно, возникает вопрос, как же всё-таки авторы этих книг сумели создать такие творения? Конечно, у науки он тоже возникал, но вместо ответа она хранит пока лишь своё гордое молчание. Ну что же, тогда ничто нам и не препятствует высказать здесь свою версию.

По всей видимости, это были каким-то образом сохранившиеся, а затем восстановленные письменные источники знаний погибшей в более ранние времена высокоразвитой цивилизации. Прочитать и восстановить их могли только особо одарённые люди, с экстрасенсорными способностями, позволяющими понимать письменные источники, независимо от носителя и языка, на котором они были изложены. Евклид, который вероятнее всего был царём, задействовал целый коллектив таких людей, а Диофант справился один, так и появилось авторство того и другого, хотя фактически над книгами работали не учёные, а всего лишь переписчики и переводчики.

Но вернёмся теперь к той самой задаче 8 из второй книги «Арифметики» Диофанта:

Данное число в квадрате разложить на сумму двух квадратов.

В примере Диофанта число 16 раскладывается на сумму двух квадратов и его метод даёт одно из решений 4²=20²/5²=16²/5²+12²/5², а также бесчисленное множество других подобных решений⁵¹. Но ведь это же не решение задачи, а всего лишь доказательство того, что любой целочисленный квадрат сколько угодно раз можно составить из двух квадратов, либо в целых, либо в дробных рациональных числах.

Отсюда следует, что практическая ценность метода Диофанта ничтожна, поскольку с точки зрения арифметики дробные квадраты — это бессмыслица типа, скажем, треугольных прямоугольников или чего-то в этом роде. Очевидно, что эта задача должна решаться только в целых числах, но у Диофанта такое решение отсутствует и, естественно, Ферма стремится сам решить эту задачу, тем более что вначале ему она видится совсем не сложной.

Итак, пусть в уравнении a²+b²=c² дано число c и нужно найти числа a и b. Проще всего найти решение, разложив число c на простые множители: c=pp₁p₂…p_k; тогда c²=p²p₁²p₂²…p_k²=p²(p₁p₂…p_k)²=p_i²N²

Теперь становится очевидно, что число c² раскладывается на a²+b² только в том случае, если хотя бы одно из чисел p_i² также раскладывается на сумму двух квадратов⁵². Так ведь это же замкнутый круг, поскольку нужно опять число в квадрате разложить на сумму двух квадратов. Но ситуация уже совсем иная, т.к. теперь-то нужно раскладывать простое число в квадрате и это обстоятельство становится основой для решения поставленной задачи.

Если решение возможно, то должны существовать такие простые числа, которые раскладываются на сумму двух квадратов и только в этом случае в соответствии с тождеством пифагорейцев можно получить: p_i²=(x²+y²)²=(x²−y²)²+(2xy)²

т.е. квадрат такого простого числа будет также суммой двух квадратов. Отсюда появляется поистине грандиозное научное открытие Ферма⁵³:

Все простые числа типа 4n+1 единственным образом раскладываются на сумму двух квадратов, т.е. уравнение p=4n+1=x²+y² имеет единственное решение в целых числах. А все остальные простые числа, относящиеся к типу 4n−1, не могут быть разложены таким же образом.

В письме-завещании Ферма показано, как это удивительное утверждение может быть доказано методом спуска. Однако доказательство Ферма не сохранилось и эту задачу решил Эйлер, которому пришлось для этого в течение целых семи лет задействовать всю свою интеллектуальную мощь⁵⁴. Теперь уже решение задачи Диофанта выглядит очевидным. Если среди простых множителей числа c нет ни одного относящегося к типу 4n+1, то и число c² не может быть разложено на сумму двух квадратов. А если хотя бы одно такое число p_i есть, то через тождество пифагорейцев можно получить:

c²= N²p_i²=(Nx)²+(Ny)² где x=u²−v²; y=2uv; a=N(u²−v²); b=N2uv

Решение получено, однако Ферма оно явно не устраивает, поскольку чтобы вычислить число N, нужно разложить число c на простые множители, а эта задача во все времена считалась едва ли не самой трудной из всех задач в арифметики⁵⁵. Затем нужно ещё вычислить числа x, y, т.е. решить задачу о разложении простого числа типа 4n+1 на сумму двух квадратов. Над решением этой задачи Ферма работал почти до конца своей жизни.

Вполне естественно, что, когда есть желание упростить решение задачи Диофанта, появляется и новая идея получения общего решения уравнения Пифагора a²+b²=c² способом, отличным от тождества пифагорейцев. Как это зачастую бывает, новая идея вдруг неожиданно возникает после пережитых сильных потрясений. Видимо, так и случилось в период эпидемии чумы 1652 года, когда Ферма только каким-то чудом удалось выжить, но именно после этого он уже вполне отчётливо представлял себе, как можно решить уравнение Пифагора новым способом.

Впрочем, способ ключевой формулы для Ферма не был новым, но когда он эту формулу вывел и сразу же получил новое решение уравнения Пифагора, то был настолько этим поражён, что долго не мог прийти в себя. Ведь до этого для получения одного решения нужно задать в тождестве пифагорейцев два целых числа, а при новом способе получается, как минимум три решения, если задать только одно целое число.

Но самое удивительное здесь то, что применение этого нового способа не зависит от показателя степени и его можно применить для решения уравнения с более высокими степенями, т.е. вместе с уравнением a²+b²=c² можно решать таким же способом и aⁿ+bⁿ=cⁿ с любыми степенями n>2.

Чтобы получить итоговый результат оставалось преодолеть лишь некоторые технические трудности, с которыми Ферма справился успешно. Вот так и появилось ставшее знаменитым его замечание к задаче 8 книги II «Арифметики» Диофанта:

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

См. рис. 3 и перевод в конце п. 1.

4.2. Доказательство Ферма

Представленное здесь реконструированное доказательство ВТФ содержит неизвестные сегодняшней науке новые открытия. Однако от этого оно ничуть не становится трудным для понимания. Наоборот, именно эти открытия и позволяют решить эту проблему наиболее просто и доступно. Сам феномен недоказуемой ВТФ вообще не появился бы, если бы Французская Академия наук была создана ещё при жизни П. Ферма. Тогда он стал бы академиком и публиковал свои научные исследования, а среди его теорем во всех учебниках по арифметике была бы и вот такая самая обычная теорема:

Для любого заданного натурального числа n>2 не существует ни одной тройки натуральных чисел a, b, c согласно уравнению

aⁿ + bⁿ = cⁿ (1)

Для доказательства этого утверждения, предположим, что числа a, b, c, удовлетворяющие (1), существуют и тогда, исходя из этого, мы можем получить все без исключения решения этого уравнения в общем виде. С этой целью мы задействуем метод ключевой формулы, при котором к исходному уравнению добавляется ещё одно уравнение, чтобы стало возможно получить решение (1) в системе из двух уравнений. В нашем случае ключевая формула имеет вид:

a + b = c + 2m (2)

где m натуральное число.

Для получения формулы (2) отмечаем, что a≠b, т.к. иначе 2aⁿ=cⁿ, что очевидно невозможно. Следовательно, a<b<c и можно констатировать, что (a^n-1+b^n-1)>c^n-1, откуда (a+b)>c. Поскольку в (1) случаи с тремя нечётными a, b, c, а также с одним нечётным и двумя чётными невозможны, то числа a, b, c могут быть либо все чётные, либо два нечётных и одно чётное. Тогда из (a+b)>c следует формула (2), где число 2m чётное⁵⁶.

Вначале проверим действенность метода для случая n=2, или уравнения Пифагора a²+b²=c². Здесь действует ключевая формула (2) и можно получить решение системы уравнений (1), (2), если сделать подстановку одного в другое. Чтобы её упростить, возведём в квадрат обе стороны (2), чтобы сделать числа в (1) и (2) соразмерными. Тогда (2) принимает вид:

{a²+b²−c²}+2(c−b)(c−a)=4m² (3)

Подставляя уравнение Пифагора в (3), получаем:

A_iB_i=2m² (4),

где с учетом формулы (2): A_i=c−b=a−2m; B_i=c−a=b−2m (5)

Теперь раскладываем на простые множители число 2m², чтобы получить все варианты A_iB_i. Для простых чисел m всегда есть только три варианта: 1×2m²=2×m²=m×2m. В этом случае A₁=1; B₁=2m²; A₂=2; B₂=m²; A₃=m; B₃=2m. Поскольку из (5) следует a=A_i+2m; b=B_i+2m; а из (2) c=a+b−2m; то в итоге получаем три решения:

1. a₁=2m+1; b₁=2m(m+1); c₁=2m(m+1)+1

2. a₂=2(m+1); b₂=m(m+2); c₂= m(m+2)+2 (6)

3. a₃=3m b₃=4m; c₃=5m

Уравнения (6) являются решениями уравнения Пифагора для любого натурального числа m. Если же число m составное, то соответственно увеличивается и число решений. В частности, если m состоит из двух простых множителей, то число решений возрастает до девяти⁵⁷.

Таким образом, мы имеем новый способ вычисления всех без исключения троек чисел Пифагора, задавая при этом только одно число m, вместо двух чисел, которые нужно задавать в тождестве пифагорейцев. Однако полезность этого метода только этим не исчерпывается, поскольку эта же ключевая формула (2) действительна и для получения общего решения уравнений с более высокими степенями.

Используя способ получения решений (1) для случая n=2, можно точно также получить решения и для степеней n>2, выполнив подстановку (1) в (2), и возведя предварительно обе стороны (2) в степень n. Чтобы это можно было сделать, выведем вначале следующую формулу⁵⁸:

(x+y)ⁿ=zⁿ=zz^n-1=(x+y)z^n-1=xzz^n-2+yz^n-1=

=x(x+y)z^n-2+yz^n-1=x²zz^n-3+y(z^n-1+xz^n-2)+…

(x±y)ⁿ=zⁿ=xⁿ±y(x^n-1+x^n-2z+x^n-3z²+…+xz^n-2+z^n-1) (7)

Назовём выражение в скобках, состоящее из n слагаемых, «симметричный полином» и будем представлять его в виде (x++z)_n как сокращённый вариант написания. Теперь по формуле (7) возведём обе стороны формулы (2) в степень n следующим образом.

[a−(c−b)]ⁿ=aⁿ+{bⁿ−cⁿ+(cⁿ−bⁿ)}−(c−b)[a^n-1+a^n-22m+…+ a(2m)^n-1+(2m)^n-1]=(2m)ⁿ

Затем посредством тождества

(cⁿ−bⁿ)=(c−b)(c^n-1+c^n-2b+…+cb^n-2+b^n-1), получаем:

{aⁿ+bⁿ−cⁿ}+(c−b)[(c++b)_n−(a++2m)_n]=(2m)ⁿ (8)

Уравнение (8) является формулой (2), возведённой в степень n, в чём можно убедиться, если подстановкой c−b=a−2m в (8) получить тождество⁵⁹:

{aⁿ+bⁿ−cⁿ}+(cⁿ−bⁿ)−[aⁿ−(2m)ⁿ]=(2m)ⁿ (9)

В этом тождестве натуральные числа a, b, c, n, m, естественно, могут быть любыми. Вопрос только в том, есть ли среди них такие, что {aⁿ+bⁿ−cⁿ} равно нулю? Однако аналогия с решением уравнения Пифагора на этом и заканчивается, т.к. подстановка (1) в (8), никак не обоснована. И действительно, при подстановке (1) в (3) хорошо известно, что уравнение Пифагора имеет сколько угодно решений в натуральных числах, а для случаев n>2 такого факта нет ни одного. Следовательно, не исключается подстановка в (8) несуществующего уравнения (1), что должно привести к противоречиям.

Тем не менее, такая подстановка легко выполнима и в итоге получится уравнение, очень похожее на (4), которое даёт решения уравнения Пифагора. Учитывая это обстоятельство, мы в качестве пробы всё-таки подставим (1) в (8), но при этом модифицируем (8) так, чтобы за квадратные скобки был вынесен ещё один множитель (c−a) ⁶⁰. Тогда получим:

A_iB_iE_i=(2m)ⁿ (10)

где A_i = c−b=a−2m; B_i=c−a=b−2m; E_i — полином степени n−2.

Уравнение (10) является призраком, который видится явно только на фоне предположения, что число {aⁿ+bⁿ−cⁿ} сокращено при подстановке (1) в (8). Но стоит его хотя бы один раз тронуть, как оно сразу рассыпается в прах. Например, если

A_i×B_i×E_i=2m²×2^n-1m^n-2

то как один из вариантов может быть такая система

A_iB_i=2m²

E_i=2^n-1m^n-2

В этом случае, как мы уже установили выше, из A_iB_i=2m² следует, что для любого натурального числа m решениями уравнения (1) должны быть числа Пифагора. Однако при n>2, эти числа явно не подходят, а проверить какой-то другой случай уже нет никакой возможности, т.к. в данном случае, (как и при любом другом варианте отсутствия решений), другая подстановка будет уже точно неправомерна и уравнение-призрак (10), из которого только и можно получить решения, исчезает ⁶¹. Поскольку прецедент с неудачной попыткой получения решений уже создан, то можно не сомневаться в том, что и все другие попытки получить решения из (10) будут неудачными, из-за того, что как минимум в одном случае условие {aⁿ+bⁿ−cⁿ}=0 не выполняется, т.е. уравнение (10) получено подстановкой несуществующего уравнения Ферма (1) в ключевую формулу (2). Следовательно, натуральные числа a, b, c, удовлетворяющие уравнению (1) при n>2, не могут существовать, и Великая теорема Ферма доказана.⁶²

Итак, теперь мы имеем восстановленное авторское доказательство самой знаменитой теоремы Ферма. В нём есть интересные идеи, но в то же время нет ничего такого, что для науки могло быть недоступно в течение более трёхсот лет. Также и с точки зрения трудности понимания его сути оно тянет от силы на 8-й класс средней школы. Несомненно и то, что ВТФ является очень важной составной частью теории чисел. Однако нет никаких видимых причин тому, чтобы эта задача на века стала неразрешимой проблемой, даже несмотря на то, что в поисках её решения приняли участие миллионы профессиональных учёных и любителей. Только и остаётся теперь сокрушаться — вот ведь какой он, этот нечестивый!

После того как с восстановлением доказательства ВТФ всё завершилось так благополучно, многие будут разочарованы, т.к. теперь сказке конец, тема закрыта и ничего здесь интересного не осталось. Но так было раньше, когда в арифметике были только ребусы, а мы-то знаем, что это не так, поэтому для нас сказка не только не закончилась, а даже ещё и не началась! Ведь мы пока раскрыли секрет только двух записей Ферма из шести, восстановленных нами в начале нашего исследования. Чтобы это стало возможно, мы совершили остросюжетный исторический экскурс, в котором ВТФ была путеводителем экстра класса. Это путешествие подвигло нас задействовать наши возможности и заглянуть в эти запретные «еретические письмена» Ферма, чтобы сделать, наконец-то, истинную науку в лице самой фундаментальной дисциплины арифметики, доступной для нашей разумной цивилизации и позволяющей ей на этом сверхпрочном фундаменте развиваться и процветать так, как никогда прежде.

Мы можем честно признаться, что пока ещё не всё, что находится в тайнике Ферма, доступно и понятно для нас. Более того, мы не можем даже определить, где находится это место. Но и заявлять, что всё, что мы здесь рассказываем — это только наше, было бы явно несправедливо и нечестно. Да нам просто бы никто тогда и не поверил. С другой стороны, если бы всё было так просто, то это было бы совсем никому и не интересно. Самое плохое, что можно было бы сделать — это раскрыть всё содержание тайника Ферма, чтобы о нём все забыли сразу после прочтения.

Мы поступим по-другому. Если что-то и будет раскрыто, то лишь для того, чтобы дать возможность узнать о ещё более сокровенных тайнах науки, которые не просто сделают всех умнее, а укажут лучшие способы решения насущных проблем. На примере решения проблемы ВТФ в этом будет совсем нетрудно убедиться, поскольку именно с её решением наука получает такую надёжную точку опоры, что сможет выполнять с целыми степенями всё, что пожелает. В частности, она запросто вычислит сколько угодно таких целых степеней, которые в сумме или в разности опять-таки дадут целую степень. То, что сейчас такую работу может перелопачивать только компьютер, для современной науки очень стыдно, ведь эта задачка слишком проста даже для детей.

Наиболее смышлёные из них явно предпочтут, чтобы взрослые попросили их разъяснить что-то более трудное, например, доказательство ВТФ, которое в их времена было совершенно им недоступно. Дети, естественно, не преминут поозорничать и будут важничать как великосветские вельможи, при ответах на глупые вопросы взрослых поучая и указывая им, что кое кому не мешало бы ещё кое чему и подучиться. Но это будут ещё только цветочки. А вот дальше изумление взрослых станет просто неописуемым, когда они узнáют, что дети повадились подсматривать и списывать всё, что их интересует прямо из тайника Ферма! Ведь в их-то возрасте они ещё не осознают своих возможностей и им кажется, что это совсем нетрудное дело.

Впрочем, если бы они не читали интересные книжки про науку, то такая идея им бы и в голову не пришла. Но когда они узнáют, что кто-то так делает, то обнаружат, что у них это получается совсем не хуже, если даже не лучше! Не верите? Ну что же, всем желающим убедиться в этом такая возможность сейчас представится. Правда, остаётся ещё одна маленькая деталь. Ферма в своих «еретических письменах», хоть и указал, что три простенькие теоремы для детей, которые он специально для них и подготовил, нужно ещё снабдить доказательствами, но пока у него для этого нет времени, тем не менее твёрдо пообещал, что как только оно у него появится, то он непременно и обязательно это сделает.

Но видимо недосуг ему было, и он так не успел добавить нужные записи. А может быть он и передумал, т.к. не хотел лишать детей радости самим научиться решать как раз такие задачки, которые взрослым не по силам. Если дети даже не справятся, то кто же упрекать-то будет за это. А вот если справятся, то никуда уж взрослые не денутся и много-много подарков им тогда принесут!

4.3. Теоремы о волшебных числах

Приведенное выше доказательство ВТФ не только соответствует оценке Ферма как «поистине удивительное», но и является конструктивным, поскольку оно позволяет вычислять новым способом как числа Пифагора, так и другие особые числа, что демонстрируют следующие теоремы.

Теорема 1. Для любого натурального числа n можно вычислить сколько угодно троек из разных натуральных чисел a, b, c, таких, что n=a²+ b²–c². Например,

n=7=6²+14²–15²=28²+128²–131²=568²+5188²–5219²=

=178328²[phone]²–5300145931² и т. д.

n=34=11²+13² –16²=323²+3059²–3076²=

=247597² [phone]–2043475820² и т. д.

Смысл этой теоремы в том, что если существует бесконечное множество пифагоровых троек, образующих число ноль в виде: a²+b²−c²=0; то ничто не мешает создавать таким же образом и любое другое целое число. Из текста теоремы следует, что числа с такими свойствами «можно вычислить», поэтому она очень полезна для использования её в целях обучения детей в школе.

Мы в данном случае не поступим опрометчиво и не дадим ни здесь, ни где-нибудь в другом месте доказательства этой теоремы, но вовсе не потому, что хотим сохранить его в секрете. Более того, мы будем рекомендовать и для школьных учебников или других книг, (если, конечно, она там появится), не раскрывать доказательство, т.к. иначе её образовательное значение будет утрачено, а дети, которые могли бы проявить здесь свои способности, лишатся такой возможности. С другой стороны, если бы доказательство ВТФ оставалось бы неизвестным, то теорема 1 была бы очень трудной, но поскольку это теперь не так, то даже не очень способные ученики быстро догадаются как её доказать и, как только они это сделают, то легко выполнят приведенные выше вычисления. Тем более не может быть проблемой такая задача для учителей, поэтому помещать доказательство в учебниках будет методологической ошибкой. Также нужно поступить и с теоремами 2 и 3, которые будут уже для настоящих волшебников, а потому и значительно более трудные. Ключ к их доказательству находится в доказательстве теоремы 1, причём он лежит там на виду буквально у всех под носом, но он так искусно скрыт от непосвящённых, что увидеть его дано не всем. Если же не последовать нашей рекомендации и доказательства теорем 1, 2, 3 опубликовать в учебниках, то дети уже не смогут сами своими силами разгадать секрет волшебной сказки. Итак, из теоремы 1 теперь следует:

Конец ознакомительного фрагмента.

Примечания

44

Надо признать, что метод доказательства Фрая в принципе такой же, как и у Ферма, т.е. он основан на получении решения уравнения aⁿ+bⁿ=cⁿ путём его объединения в систему с другим уравнением — ключевой формулой, и затем решения этой системы. Но если ключевая формула Ферма a+b=c+2m выведена напрямую из исходного уравнения, то у Фрая она просто взята с потолка и пристёгнута к уравнению Ферма aⁿ+bⁿ=cⁿ, т.е. «кривая Фрая» y²=x(x−aⁿ)(x+bⁿ) — это фокуснический приём, позволяющий скрыть суть проблемы и заменить её на некую иллюзию. Даже если бы Фрай доказал отсутствие в его уравнении целочисленных решений, то всё равно это никоим образом не могло бы вывести его на доказательство ВТФ. Но ему и этого не удалось, поэтому одна «гениальная идея» родила «ещё более гениальную идею» о противоречии «кривой Фрая» гипотезе Танияма — Симура. С таким подходом можно получить невероятно большие возможности для манипулирования и подтасовок под нужный результат, например, можно «доказать», что уравнение a+b+c=d, как и уравнение Ферма aⁿ+bⁿ=cⁿ в целых числах не решается, если пристегнуть к нему уравнение abc=d. Однако такие «идеи», явно указывающие на на подмену предмета доказательства, вообще не должны рассматриваться, т.к. фокусники только и надеются на трудности прямого опровержения их трюка.

45

Вот как сам Э. Вайлс комментирует ошибку, найденную в его «доказательстве» в 1993 г.: «Even explaining it to a mathematician would require the mathematician to spend two or three months studying that part of the manuscript in great detail» — «Для того чтобы объяснить это математику нужно 2-3 месяца очень подробного обучения этой части текста». См. публикацию Nova http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/andrew-wiles-fermat.html Выходит, что это «доказательство» понимает только его автор, а всем остальным нужно учиться и учиться.

46

См., например, интернет издания «Ивлиев Ю.А. Разгадка феномена Великой теоремы Ферма», или Руди Л.В. «Гипотеза Эндрю Била — Это очередная провокация математической мафии против молодежи мира». Подобные развенчания очень подробны, но слишком избыточны, поскольку доводы основных авторов «доказательства» ВТФ Г. Фрая и Э. Вайлса выглядят настолько нелепыми, что ни чем иным, как гипнотическим влиянием нечестивого, невозможно объяснить, как в течение многих лет после 1995 г. почему-то никто из признанных учёных мужей так и не заметил, что вместо доказательства ВТФ нам подсунули нечто совсем другое.

47

Аналогично примеру Пифагора 3²+4²=5² очень простой и красивый пример сложения степеней обнаружил Эйлер: 3³+4³+5³=6³. Другие примеры см. в комментарии 22 п.2.

48

Например, проблема бесконечности множества пар простых чисел-близнецов, или задача Гольдбаха о представлении любого чётного натурального числа суммой двух простых чисел. Да и решение самой крутой задачи арифметики об эффективном способе вычисления простых чисел пока ещё очень далеко от совершенства, несмотря на тонны бумаги, затраченной на исследования этой проблемы.

49

В частности Эдвардс в своей внушительной по объему книге [6], [38] оказался не в курсе того, что задачу Ферма о разложении простого числа типа 4n+1 на сумму двух квадратов решил Гаусс. Но именно эта задача стала своеобразным мостом к последующему открытию ВТФ. Сам Ферма впервые сообщил о ней в письме к Блезу Паскалю от 25.09.1654 г. и это одно из свидетельств того, что из всех своих научных работ ВТФ — это действительно последнее и самое большое его открытие.

50

Главное и принципиальное отличие методов Ферма от методов других учёных заключается в том, что его методы достаточно универсальны для очень широкого круга задач и не связаны напрямую с конкретной задачей. Как правило, попытки решить задачу начинаются с пробных вычислений и перебором всех возможных вариантов, и те, кто быстрее считает, получают соответственно больше возможностей её решить. У Ферма иной подход, он делает пробы только с той целью, чтобы подвести их под какой-либо подходящий для данной задачи универсальный метод. И как только ему это удаётся, то задача практически решена, причём результат гарантирован даже в том случае, если впереди остается ещё очень большой объём рутинных вычислений. См., например, комментарий 30 в п. 2.

51

В оригинале решение задачи Диофанта следующее. «Пусть надо разложить число 16 на два квадрата. Положим, что 1-й равен x², тогда 2-й будет 16−x². Составляю квадрат из некоторого количества x минус столько единиц, сколько их в стороне 16-ти; пусть это будет 2x–4. Тогда сам этот квадрат равен 4x²–16x+16. Он должен равняться 16−x². Прибавим к обеим сторонам недостающее и вычтем подобные из подобных. Тогда 5x² равно 16x и x окажется равным 16-ти пятым. Один квадрат 256/25, а другой 144/25; оба сложенных дают 400/25, или 16, и каждый будет квадратом» [2, 27].

52

Если c²=p²N² и p², (а также любой другой p_i² из простых множителей c), не раскладывается на сумму двух квадратов, т.е. p²=q²+r, где число r не есть квадрат, то c²=p²(q²+r)=(pq)²+p²r, и здесь во всех вариантах чисел q и r получится, что p²r тоже не есть квадрат, тогда число c² также не может быть суммой двух квадратов.

53

Это открытие впервые изложено в письме Ферма к Мерсенну от 25.12.1640 г. [36, 9]. Здесь же в п. 2-30 сообщается: «Это же число, (простое типа 4n+1), будучи гипотенузой одного прямоугольного треугольника, будет в квадрате гипотенузой двух, в кубе — трёх, в биквадрате — четырёх и т.д. до бесконечности». Это удивительная и совершенно не свойственная Ферма невнимательность. Ведь верное утверждение дано в соседнем абзаце, (п. 2-20). То же самое повторено в замечании Ферма к комментарию Баше к задаче 22 книги III «Арифметики» Диофанта. Но здесь сразу же после этого явно ошибочного утверждения следует верное: «Это же простое число и его квадрат только одним способом разлагаются на два квадрата; его куб и биквадрат — двумя; квадрато-куб и кубо-куб — тремя и т.д. до бесконечности». В этом письме Ферма, видимо, ощущал, что здесь что-то не так, поэтому добавил такую фразу: «Я пишу Вам в такой спешке, что не обращаю внимания на то, что есть ошибки, и опускаю много вещей, о которых я Вам подробно расскажу в другой раз». Это, конечно, не та ошибка, которая могла бы иметь серьезные последствия, но факт заключается в том, что эта ляпа тиражируется в печатных изданиях и в Интернете уже четвертое столетие подряд! Выходит, что бесчисленное количество публикаций работ Ферма никто ещё ни разу внимательно не читал, ведь иначе появилась бы ещё одна его задача, которая явно не имела бы никакого решения.

54

Доказательство Эйлера неконструктивно, т.е. оно не дает метода вычисления двух квадратов, из которых состоит простое число типа 4n+1 (см Приложение III). Пока у этой задачи есть только решение Гаусса, но оно получено в рамках очень сложной системы «Арифметики вычетов». Решение, о котором сообщал Ферма, до сих пор остаётся неизвестным. Впрочем, см. комментарий 172 в Приложении IV (Год 1680).

55

Способы вычислений простых чисел были предметом поисков ещё с древних времен. Наиболее известный способ получил название «Решето Эратосфена». Многие другие способы также были разработаны, но широкого применения не получили. Сохранился обрывок письма Ферма с описанием созданного им метода — письмо LVII 1643 г. [36]. В п.7 письма-завещания он отмечает: «Я признаюсь, что моё изобретение для установления того, будет ли данное число простым или нет, несовершенно. Но у меня есть много путей и методов для того, чтобы сократить число делений и значительно их уменьшить, облегчая обычную работу». См. также п. 5.1 с комментариями 73-74.

56

Ферма обнаружил формулу (2) после преобразования уравнения Пифагора в алгебраическое квадратное уравнение см. Приложение IV рассказ Год 1652. Однако алгебраическое решение не даёт понимания сути полученной формулы. Впервые этот способ был опубликован в 2008 г. [30].

57

Например, если m=p₁p₂, то кроме первых трех решений будут ещё другие:

A₄=p₁; B₄=2p₁p₂²; A₅=p₂; B₅=2p₁²p₂; A₆=2p₁; B₆=p₁p₂²

A₇=2p₂; B₇=p₂p₁²; A₈=p₁²; B₈=2p₂²; A₉=p₂²; B₉=2p₁²

58

Формула (7) называется «Бином Ферма». Любопытно, что это же название появилось в 1984 году в романе советского писателя-фантаста Александра Казанцева «Острее шпаги». Эта формула не является тождеством, т.к. в отличие от тождества бинома Ньютона, в ней, кроме слагаемых присутствует отдельным числом ещё их сумма, однако с помощью Бинома Ферма легко вывести многие полезные тождества, в частности, разложение на множители суммы и разности двух одинаковых степеней [30].

59

В данном случае тождество (9) свидетельствует о том, что в преобразованную ключевую формулу (2) подставляется эта же ключевая формула, или что полученное нами уравнение (8) есть ключевая формула (2), возведённая в степень n. Но можно идти и обратным путём, просто дать тождество (9), а затем разложить в нём на множители разности степеней и так можно получить (8) без использования «Бинома Ферма» (7). Но этот путь может быть уловкой, чтобы скрыть понимание сути, ведь когда некое тождество как бы падает с неба, то вроде бы и возразить-то нечего. Однако, если заученно идти по этому пути, то есть риск разоблачения в непонимании сути, т.к. вопрос о способе получения тождества, может остаться без ответа.

60

Учитывая, что с−a=b−2m, выражение в квадратных скобках уравнения (8) можно преобразовать следующим образом: (c ++ b)_n − (a ++ 2m)_n = с^n-1 − a^n-1 + c^n-2b − a^n-22m + c^n-3b² − a^n-3(2m)² +… + b^n-1 − (2m)^n-1; с^n-1 − a^n-1 = (с−a)(c++a)_n-1; c^n-2b − a^n-22m = 2m(c^n-2 − a^n-2) + c^n-2(b − 2m) = (c − a)[2m(c ++ a)_n-2 + c^n-2]; c^n-3b² − a^n-3(2m)² = (2m)²(c^n-3 − a^n-3) + c^n-3(b² − 4m²) = (c − a)[4m²(c++a)_n-3 + c^n-3(b + 2m)]; b^n-1 − (2m)^n-1 = (b − 2m)(b ++ 2m)_n-1 = (c − a)(b ++ 2m) _n-1; Все разности чисел, кроме первой и последней, можно задать в общем виде: c^xb^y − a^x(2m)^y = (2m)^y(c^x−a^x) + c^x[b^y−(2m)^y] = (c − a)(c ++ a)_x(2m)^y + (b − 2m)(b ++ 2m)_yc^x = (c−a)[(c++a)_x(2m)^y+(b++2m)_yc^x]; И отсюда понятно, каким образом число (с − a) выносится за скобки. Аналогично можно вынести за скобки множитель a+b=c+2m. Но это возможно только для нечётных степеней n. В этом случае уравнение (10) будет иметь вид A_iB_iC_iD_i = (2m)ⁿ, где A_i = c−b = a −2m; B_i = c − a = b − 2m; C_i = a + b = c + 2m; D_i — полином степени n − 3 [30].

61

Уравнение (10) может существовать только если выполняется (1), т.е. {aⁿ+bⁿ−cⁿ}=0, поэтому любой вариант с отсутствием решений приводит к исчезновению этого уравнения-призрака. И в частности, не проходит «опровержение» о том, что неправомерно искать решение при любых комбинациях множителей, поскольку A_iB_i = 2m² может противоречить E_i = 2^n-1m^n-2, когда приравнивание E_i к целому числу не всегда даёт целые решения из-за того, что полином степени n−2, (остающийся после выноса за скобки множителя c−a), может в этом случае не состоять только из целых чисел. Однако этот довод не опровергает сделанный вывод, а наоборот усиливает его ещё одним противоречием, т.к. E_i состоит из тех же чисел, (a, b, c, m) что и A_i, B_i, где нецелых чисел быть не может.

62

В данном доказательстве было вполне логично указать такую комбинацию множителей в уравнении (10), из которой следуют числа Пифагора. Однако есть и множество других возможностей получить такой же вывод из этого уравнения. Например, в [30] дан целый десяток различных вариантов и при желании можно найти ещё больше. Легко показать, что уравнение Ферма (1) невыполнимо также и для дробных рациональных чисел, т.к. в этом случае их можно привести к общему знаменателю, который затем сократить. Тогда получится случай решения уравнения Ферма в целых числах, но уже доказано, что это невозможно. В этом доказательстве ВТФ задействованы новые открытия, не известные сегодняшней науке — это метод ключевой формулы (2), новый способ решения уравнения Пифагора (4), (5), (6), и формула Бинома Ферма (7)… да, конечно же, ещё и волшебные числа из п. 4.4!!!