Репетитор по математике. Алгебра

М. Л. Фартушняк

В книге в простой и удобной форме объяснено решение разнообразных уравнений, неравенств и их систем (включая показательные и логарифмические), а также решение текстовых задач, большое внимание уделено функциональным зависимостям между величинами и числовым последовательностям. Отличительной особенностью является наличие небольшого теоретического материала, тестовых заданий и задач для самостоятельного решения. Предназначена для учителей, выпускников школ и абитуриентов.

Алгебра

Это один из основных разделов математики. В нем мы научимся преобразовывать алгебраические выражения, решать разнообразные уравнения, неравенства, а также их системы (в том числе показательные и логарифмические). Большое внимание уделим текстовым задачам, а также ознакомимся с понятием «функция» и научимся строить графики различных функций. Просьба, по возможности, решить все предложенные задачи в этом разделе и пройти все тестовые задания.

Тема 1

Возведение в степень, свойства степени, корни, действия с корнями

Возвести число в целую степень n, значит повторить его сомножителем n раз т.е.

Вторая степень называется квадратом, третья — кубом.

Запомните!

1) Первой степенью числа называют само это число.

2) Любое число (кроме нуля) в нулевой степени есть единица.

3) Нуль в любой неотрицательной степени есть нуль.

4) Единица в любой степени есть единица.

Отрицательный показатель степени.

Дробный показатель степени.

Дробный отрицательный показатель степени

Теперь рассмотрим свойства степени. Для удобства мы составили таблицу, в котором привели примеры не только с натуральными показателями степени, но и с рациональными и действительными.

Необходимые пояснения к свойствам степени.

Первые два свойства указывают на действия со степенями с одинаковыми основаниями. При умножении таких степеней их показатели складываются (свойство 1), при делении — вычитаются (свойство 2). Третье свойство — это свойство возведения степени в степень — показатели степени перемножаются (свойство 3).

Следующие два свойства — это возведение в степень произведения (свойство 4) и частного (свойство 5). Притом, свойство 4 справедливо для любого числа сомножителей. Применение данных правил позволяет существенно облегчить вычисления.

Извлечение корня есть нахождение основания степени по степени и её показателю. Записывается это так

Основные свойства корня.

1) Если за корнем следует степень, равная показателю корня,

то корень можно опустить, например

2) Если подкоренное число имеет степень равную

показателю корня, то оно равно модулю подкоренного числа.

Основные действия с корнями (все эти правила справедливы при

a≥0 и b≥0)

Все вышеизложенные правила позволяют существенно облегчить вычисления.

Рассмотрим две операции: внесение множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня при решении задач.

Очень часто при преобразованиях пользуются приёмом уничтожения иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Такой метод позволяет упростить приближенные вычисления. Рассмотрим его на примере.

.

Уничтожив иррациональность в знаменателе, мы пришли к такому результату, что нам необходимо разделить приближенное число на целое, что намного точнее и проще, чем делить приближенное число на приближенное и проводить вычисления с большим количеством значащих цифр, чтобы получить два верных знака после запятой.

Тестовые задания к теме 1

Тест 1

Тест 2

Тест 3

Тест 4

Тест 5

Задачи

Тема 2

Одночлен. Многочлен. Преобразование алгебраических выражений. Формулы сокращённого умножения. Разложение многочлена на множители

Мы подошли к одной из самых важных тем алгебры. Ведь без задания на преобразование алгебраических выражений не обходится практически ни один экзамен по математике. Сразу предупреждаю, такие преобразования сложны и требуют не только знаний, но и внимания, смекалки, терпения.

Для начала мы ознакомимся с понятиями «одночлен» и «многочлен».

Одночленом называется произведение двух или нескольких сомножителей каждый из которых есть либо число, либо буква, либо степень буквы.

Например, 6a²x, 2c, 3b³c², — 10y⁷, — 7abc.

Одночлены состоят из коэффициента (числового множителя) и буквенной части.

6a²x = 6 (коэффициент) × a²x (буквенная часть).

Отдельно взятое число, буква или степень буквы тоже рассматриваются как одночлен. Например, — 5 (одночлен без буквенной части), с и c⁵ (одночлены, в которых коэффициент равен 1).

Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются только коэффициентами.

Например, 7x²y³, — 5x²y³, — x²y³ — подобны.

Сложение двух или нескольких одночленов возможно только тогда, когда среди слагаемых имеются подобные.

Например, 6x²y² +9x²y² — 7x²y² = 8x²y².

Здесь мы суммировали коэффициенты, оставив буквенную часть без изменений. Такое действие называется приведением подобных членов.

Можно этот пример решить иначе, вынеся общий множитель за скобки:

6x²y² +9x²y² — 7x²y² = (6+9—7) x²y² = 8x²y².

Как мы видим, вынесение общего множителя за скобки — операция, идентичная приведению подобных членов.

Произведение двух или нескольких одночленов можно упростить лишь тогда, когда в них входят некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатели степеней у соответствующих букв складываются, числовые коэффициенты перемножаются.

Пример: — 10x²y×3x³y² × (-xy³) = — 10×3× (-1) (x²x³x) (yy²y³) = 30x⁶y⁶.

Для лучшего понимания, мы расписали это действие более подробно, хотя оно довольно прозрачное и может делаться устно.

Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель содержат некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

Пример: 6x³y⁸z⁷: 2xy⁵z³ = 3x²y³z⁴.

Здесь числовой коэффициент делимого разделили на числовой коэффициент делителя, вычли показатели степени буквы x (3—1=2), буквы y (8—5=3) и буквы z (7—3=4).

При делении двух одночленов могут возникнуть две ситуации, которые требуют дополнительного пояснения.

1.Если показатели степени у некоторой буквы в делимом и делителе одни и те же, то в частное эта буква не войдёт (ведь нулевая степень любого числа равна единице).

Пример: 12x³y⁴: 4x³y² =3y².

2.Если показатель степени какой-нибудь буквы в делимом меньше, чем показатель степени той же буквы в делителе, то вычитание даёт отрицательную степень этой буквы.

Пример: 8x³y⁵: 2x⁵y³ = 4x^-2y² = (4y²) / (x²)

При возведении одночлена в степень используется правило возведения степени в степень.

Пример: Возведём одночлен 2a⁴b² в четвертую степень.

(2a⁴b²) ⁴ = 2⁴ (a⁴) ⁴ (b²) ⁴ = 16a¹⁶b⁸.

Не забывайте, что показатели степеней при данном правиле перемножаются.

Сумма одночленов называется многочленом.

Например, 4x²y +3a — 7b² — многочлен, состоящий из суммы одночленов 4x², 3a, — 7b².

При сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.

Пример. Сложим многочлены x³ +2x²y² — 7x² + y и 3x³ — x²y² +5x² — 3y.

Составим сумму многочленов, затем раскроем скобки и приведём в полученном многочлене подобные члены.

(x³+2x²y²—7x²+y) + (3x² — x²y² +5x² — 3y) = x³ +3x³ +2x²y² — x²y² — 7x² +5x²+ y — 3y = 4x³ + x²y² — 2x² — 2y.

Здесь одновременно с раскрытием скобок мы сгруппировали подобные члены (для удобства вычислений).

Аналогично, производится и вычитание многочленов. Не забывайте, если перед скобкой стоит знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, меняют свой знак на противоположный.

Пример. (4x²y — 7x³ +5y — 3) — (-2x²y +5x³ — 3y +2) =4x²y — 7x³ +5y — 3 +2x²y — 5x³ +3y — 2 = 6x²y — 12x³ +8y — 5.

Произведение многочленов.

Произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Схема: a× (b+c) =a×b+a×c (открытие скобок)

Например:

— 4x³ (2y³ — x +6) = — 4x³2y³ + (-4x³ (-x)) + (-4x³ ×6) = — 8x³y³ +4x⁴ — 24x³.

Мы выписали здесь промежуточные вычисления, хотя, в принципе, без этой записи можно обойтись.

Умножение многочлена на многочлен.

Произведение многочлена на многочлен равно сумме всех возможных произведений каждого одночлена одного из многочленов на каждый одночлен другого.

Схема: (a+b) × (c+d) =a×c+a×d+b×c+b×d

Пример. (3x² — 6x +2) × (4x³ — 3x) = 12x⁵ — 9x³ — 24x⁴ +18x² +8x³ — 6x =

= 12x⁵ — 24x⁴ — x³ +18x² — 6x.

Существуют частные случаи умножения многочленов, которые называются формулами сокращённого умножения многочленов. Их желательно запомнить.

1. (a+b) ² =a²+2ab+b² (квадрат суммы)

2. (a-b) ²=a²—2ab+b² (квадрат разности)

3. (a-b) (a+b) =a²-b² (разность квадратов)

4. (a+b) ³=a³+3a²b+3ab²+b³ (куб суммы)

5. (a-b) ³=a³—3a²b+3ab²-b³ (куб разности)

6. (a+b) (a²-ab+b²) =a³+b³ (сумма кубов)

7. (a-b) (a²+ab+b²) =a³-b³ (разность кубов)

Примеры: (2ma² +0.1nb²) ² = 4m²a⁴ +0.4mna²b² +0.01n²b⁴

(5x³ — 2y³) ² = 25x⁶ — 20x³y³ +4y⁶

(0.2a²b + c³) (0.2a²b — c³) = 0.04a⁴b² — c⁶

(5ab² +2a³) ³ = 125a³b⁶ +150a⁵b⁴ +60a⁷b² +8a⁹

Предлагаю вам самим узнать, какие формулы были использованы в этих примерах.

Деление многочленов.

1. Деление многочлена на одночлен.

Частное от деления многочлена на одночлен равно сумме частных, полученных от деления каждого слагаемого многочлена на одночлен.

Схема:

2. Деление многочлена на многочлен в общем случае можно выполнить с остатком, подобно тому, как это делается при делении целых чисел.

Разделить многочлен P на многочлен Q значит найти многочлен M (частное) и N (остаток) удовлетворяющий двум требованиям: 1) должно соблюдаться равенство MQ+N=P и 2) степень многочлена N должна быть ниже степени многочлена Q.

Процесс нахождения частного M и остатка N аналогичен процессу деления с остатком многозначного числа на многозначное. Перед делением члены делимого и делителя располагается в порядке убывания степеней главной буквы.

Например, разделим 6x³ +2x² — x +12 на 3x² — 2x +6

Запись деления:

1.Делим первый член делимого 6x³на первый член делителя 3x². Результат 2x — первый член частного.

2.Умножаем полученный член на делитель 3x² — 2x +6, результат 6x³ — 4x² +12x записываем под делимым.

3.Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого, получаем 6x² — 13x +12

4. Первый член остатка 6x² делим на первый член делимого, результат 2 есть второй член частного.

5. Множим полученный второй член частного на делитель, результат 6x² — 4x +12 подписываем под первым остатком.

6. Вычитаем члены этого результата из соответствующих членов первого остатка, получаем второй остаток: — 9x. Его степень меньше степени делителя. Деление закончено.

.

Целая часть: 2x +2

Остаток: — 9x

Приведём более сложный пример без дополнительных пояснений.

Целая часть: 3t² — 7t +5

Остаток: 34t — 37

Среди частных случаев деления многочлена на многочлен выделим делимость двучлена x^m±a^m на x±a.

1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих чисел, т.е. x^m-a^m делится на x-a

Примеры.

(x²-a²): (x-a) =x+a

(x³-a³): (x-a) =x²+ax+a²

(x⁴-a⁴): (x-a) =x³-ax²+a²x+a³

(x⁵-a⁵): (x-a) =x⁴-ax³+a²x²+a³x+a⁴

2. Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел, но и на их сумму т.е. x^m-a^m при чётном m делится на x+a

Примеры.

(x²-a²): (x+a) =x-a

(x⁴-a⁴): (x+a) =x³-ax²+a²x-a³

(x⁶-a⁶): (x+a) =x⁵-ax⁴+a²x³-a³x²+a⁴x-a⁵

2a. Разность одинаковых нечётных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел.

Например, ни x³-a³, ни x⁵-a⁵ не делятся на x+a.

2б. Так как разность чётных степеней делится на x-a и на x+a, то она делится и на x²-a².

Примеры.

(x⁴-a⁴): (x²-a²) =x²+a²

(x⁶-a⁶): (x²-a²) =x⁴+a²x²+a⁴

(x⁸-a⁸): (x²-a²) =x⁶+a²x⁴+a⁴x²+a⁶

3. Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на разность этих чисел.

Например, ни x²+a², ни x³+a³ не делятся на x-a.

4. Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел.

Примеры.

(x³+a³): (x+a) =x²-ax+a²

(x⁵+a⁵): (x+a) =x⁴-ax³+a²x²-a³x+a⁴

4а. Сумма одинаковых чётных степеней двух чисел не делятся ни на разность, ни на сумму этих чисел.

Например, x⁶+a⁶ не делится ни на x-a, ни на x+a.

Запомнить эти формулы необязательно, но уметь их применять необходимо.

Для удобства и упорядочивания вышеизложенных сведений можно составить такую таблицу.

Возведение в степень n двучлена a+b.

(a+b) ⁿ=aⁿ+k₁×a^n-1×b+k₂×a^n-2×b²+…+bⁿ (эта формула называется биномом Ньютона).

Где коэффициенты k (биноминальные коэффициенты) определяются из треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля — таблица бесконечная. Вершина таблицы и боковые стороны каждой строки имеют единицы. Остальные числа (в середине) равны сумме 2-ух чисел, которые находятся в предыдущей строке (над ними).Вы можете легко это проверить, а также потренироваться в составлении коэффициентов для степени 8. Теперь, зная секрет этой таблицы, вы можете без труда вычислить необходимые коэффициенты. Запомните только, что таблица начинается с нулевой степени.

Примеры.

(a+b) ⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

(a+b) ⁶=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶

Разложение многочлена на множители.

1 способ. Вынесение общего множителя за скобки.

Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки».

С этим способом мы косвенно ознакомились раньше. Приведём только пару примеров.

Примеры.

4x²y³+8xy²z=4xy² (xy+2z)

9a²b²—3ab²c+12abc²=3ab (3ab-bc+4c²)

2 способ. Способ группировки.

Многочлен разбивается на несколько групп, в каждой из групп выносится за скобки общий множитель, после чего в скобках оказывается одинаковое выражение, которое в свою очередь выносится за скобки.

Примеры.

5x³+10x²+3x+6=5x² (x+2) +3 (x+2) = (x+2) (5x²+3)

20x³—12y³+8xy²—30x²y=20x³—30x²y+8xy²—12y³=10x² (2x-3y) +

4y² (2x-3y) = (2x-3y) (10x²+4y²)

При этом способе важно иметь в виду, что выражение a-b можно всегда представить в виде — (b-a). Поэтому, если множители отличаются только знаками, их всегда можно сделать одинаковыми.

Например:

6ab-2cb+9cd-27ad=2b (3a-c) +9d (c-3a) =2b (3a-c) — 9d (3a-c) =

(3a-c) (2b-9d)

3 способ. С помощью формул сокращённого умножения.

Примеры.

9x²—1= (3x-1) (3x+1)

4x²+4x+1= (2x+1) ²

4 способ. Разложение квадратного трёхчлена ax²+bx+c=

=a (x-x₁) (x-x₂)

где x₁ и x₂-корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0

О решении квадратных уравнений мы поговорим позже.

А сейчас просто проиллюстрируем данный способ

одним примером.

Пример.

2x²+13x-24=2 (x-3/2) (x+8) = (2x-3) (x+8)

Сначала решается квадратное уравнение

2x² +13x — 24 = 0 и находятся его корни x₁=3/2, x₂=-8

Потом по формуле делается разложение.

Как правило, при разложении многочлена приходится комбинировать вышеперечисленными способами, но начинать преобразования, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Разложить на множители многочлен 36x³+24x+4x

Решение: Вынесем общий множитель 4x за скобки.

36x³+24x²+4x=4x (9x²+6x+1)

Трёхчлен 9x²+6x+1 можно представить в виде квадрата двучлена:

9x²+6x+1= (3x+1) ²

Таким образом, 36x³+24x²+4x=4x (3x+1) ²

Пример 2. Разложить на множители многочлен xy³—3y³+xy²z-3y²z

Решение: Вынесем за скобки общий множитель y²:

xy³—3y³+xy²z-3y²z=y² (xy-3y+xz-3z)

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвёртым, разложим на множители многочлен: xy-3y+xz-3z

xy-3y+xz-3z=y (x-3) +z (x-3) = (x-3) (y+z)

Окончательно получим:

xy³—3y³+xy²z-3y²z=y² (x-3) (y+z)

Пример 3. Разложить на множители многочлен: a²—4ab-9+4b²

Решение: Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены многочлена. Полученный трёхчлен можно представить в виде квадрата разности.

(a²—4ab+4b²) — 9= (a-2b) ²—9

Полученное выражение не что иное, как разность квадратов:

(a-2b) ²—9= (a-2b) ²—3²= (a-2b-3) (a-2b+3)

Таким образом, a²—4ab-9+4b²= (a-2b-3) (a-2b+3).

Тестовые задания к теме 2

тест 1

тест 2

тест 3

тест 4

тест 5

тест 6

ЗАДАЧИ

Тема 3

Уравнение, общие сведения. Равносильные уравнения. Основные приёмы решения уравнений. Классификации уравнений. Решение простейших линейных и квадратных уравнений, а также уравнений приводящихся к квадратным

Понятие уравнения является одним из основных понятий алгебры. От того как вы освоите решение уравнений зависит ваше дальнейшее продвижение по усвоению более сложного материала. Поэтому отнеситесь к этой теме с должной серьёзностью.

Итак, равенство, содержащее переменную, называется уравнением. Корни уравнения — значение переменных, обращающие уравнение в верное равенство.

Уравнение может иметь один, два, три и т.д корня, бесчисленное множество корней или не иметь их вовсе.

Упомянутое выше уравнение имеет один корень.

Уравнение (6-x) (12-x) (3+x) = 0 имеет три корня: 6, 12, — 3. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (6-x) (12-x) (3+x) и само произведение соответственно.

Конец ознакомительного фрагмента.