Высшая математика. Шпаргалка

Аурика Луковкина, 2009

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

1. Основные понятия. Системы координат. Прямые линии и их взаимное расположение

Координата точки — это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.

Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых — осей, точка их пересечения — начало координат О, ось ОХ — ось абсцисс, ось ОY — ось ординат. На осях выбираются масштаб и положительное направление.

Рис. 1

Системы координат

Положение точки М определяется двумя координатами: абсциссой х и ординатой у. Записывается так: М(х, у). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если — во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в — III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если — в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.

Косоугольной системой координат аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся к декартовой системе координат.

Полярная система координат состоит из полюса О и полярной оси ОХ, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусом ρ (отрезок ОМ) и полярным углом φ. Для полярного угла берется его главное значение (от — π до π). Числа ρ, φ называются полярными координатами точки М.

Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат: x = r cosφ, y = r sinφ или:

Пусть имеются две точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂). Расстояние между точками:

Общее уравнение прямой линии (система координат прямоугольная): Ах + Ву + С = 0 (А и В одновременно не равны нулю).

Если В не равно нулю, то уравнение прямой: у = ах + b (здесь а = — А / В, b = — С / В). Здесь а есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, b равно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс: у = b, уравнение оси абсцисс: у = 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат: х = с, уравнение оси ординат: х = 0.