Базис

  • Ба́зис (др.-греч. βασις «основа») — упорядоченный (конечный или бесконечный) набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами.

    В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

    Базис Га́меля (англ. Hamel basis), в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации; применяется в основном в абстрактной алгебре.

    Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды; применяется в основном в функциональном анализе, в частности, для гильбертова пространства.В конечномерных пространствах оба определения базиса совпадают.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.
Ковариа́нтность и контравариа́нтность — используемые в математике (линейной алгебре, дифференциальной геометрии, тензорном анализе) и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры (скаляры, векторы, операторы, билинейные формы и т. д.) изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях. Контравариантными называют «обычные» компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными...
Ве́кторное (или лине́йное) простра́нство — математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления...
Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают...
Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность.

Упоминания в литературе

♦ каждая клетка таблицы независима от других, вместе они образуют функционально полное пространство для описания системы («базис»);
5. Вычислить значение знаменателя масштаба по каждому из базисов, используя формулу:
Классическому подходу («объективизму») противопоставляется неклассический («экспириенциализм»), который полагает формирование категорий не по правилам формальной логики, путем обобщения существенных свойств и отношений, а по правилам взаимодействия человека с действительностью, подчиненного решению определенных задач. Естественные категории функциональны и целостно содержательны, это оперативные единицы опыта (концепты, образы, гештальты) реальной жизни. Возникновение, функционирование и развитие категорий в значительной степени опираются на чувственный опыт и механизмы воображения. В отличие от формальной логики, образные явления обладают гештальт-качествами и экологической структурой (Лакофф, 2004). Принадлежность объекта к категории может быть описана с помощью аппарата нечеткой логики и теории нечетких множеств. У таких категорий нет жестких разделительных границ, функция принадлежности объекта множеству может принимать не только значения «все или ничего», но и промежуточные: объект может принадлежать множеству в некоторой степени, а границы категории становятся вероятностными. Формальные операции над нечеткими множествами позволяют описывать важные эмпирические результаты, полученные, например, в исследованиях категоризации цвета (Berlin, Kay, 1969; Kay, McDaniel, 1978). Согласно Лакоффу, универсальность тех или иных категорий для человека как вида, обнаруживаемая исследователями в различных модальностях, есть функция общего предзаданного нейрофизиологического базиса и когнитивных структур, которые формируются в зависимости от культуры, опыта и индивидуальных различий. По мнению Дж. Остина (1999), в основе категоризации лежит определенная модель знания, сами же категории обладают прототипической структурой – собственной организацией, включающей ядро и периферию. Это позволяет образовывать категории не только путем учета совпадения свойств (признаков) объектов, но и путем учета их сходства или подобия. Между членами категорий нет равенства, но есть функциональная связь друг с другом, своего рода «фамильное» сходство.
Каждая система, объект иерархии в подсистеме (3) представляет собой на различном уровне элемент базиса бытия. Базисная структура систем и объектов бытия (см. рис. 1.7) обладает соответствующими функциональными свойствами, которые реализуют заданные (соответствующие) энергетическо-информационные процессы и поля. При этом каждая динамическая система включает в себя подсистемы, поддерживающие и развивающие: свою структуру; процессы и поля, создаваемые системой; ресурсы; состояние ресурсов (контроль).
С эпигенетической «вложенностью» эволюционирующих систем связан принцип структурно-процессуальной диффузии. Обусловлен он вышеописанным эффектом полемики и смешения материала материнской и новообразуемой системы: новые формы не только несут в себе подспудный эпигенетический базис, но и всегда являются прямыми паллиациями с исходной средой. Причём средой не только внешней, но и, главным образом, внутренней, т. е. теми структурами, связями и интенциями, которые любую новую форму непреложно привязывают к её исходным онтологическим основаниям. Иными словами, инновационный импульс всегда оказывается приторможенным и разбавленным инерцией: так имманентность материала сдерживает интенциальную динамику. И, как говорилось выше, инновационные формы воплощают устремления ГЭВ лишь в рамках, установленных трансформативным потенциалом структур материнской системы, а последний всегда лимитирован. И поскольку здесь речь идёт не об изменениях в пределах прежнего структурного паттерна, но о качественных конфигуративных преобразованиях, уместно говорить о том, что этот лимит определяется возможной глубиной структурной деконструкции, в ходе которой формы материнской системы превращаются в материал для строительства более сложных системных структур.

Связанные понятия (продолжение)

Ве́ктор (от лат. vector, «несущий») — в простейшем случае математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве (или на плоскости).
В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности.

Подробнее: Математическая формулировка общей теории относительности
Симметрия встречается не только в геометрии, но и в других областях математики. Симметрия является видом инвариантности, свойством неизменности при некоторых преобразованиях.
Производная — фундаментальное математическое понятие, используемое в различных вариациях (обобщениях) во многих разделах математики. Это базовая конструкция дифференциального исчисления, допускающая много вариантов обобщений, применяемых в математическом анализе, дифференциальной топологии и геометрии, алгебре.
Лине́йная комбина́ция — выражение, построенное на множестве элементов путём умножения каждого элемента на коэффициенты с последующим сложением результатов (например, линейной комбинацией x и y будет выражение вида ax + by, где a и b — коэффициенты).
В математике, матричная функция — это функция, отображающая матрицу в другую матрицу.
Скаля́р (от лат. scalaris — ступенчатый) — величина, полностью определяемая в любой координатной системе одним числом или функцией, которое не меняется при изменении пространственной системы координат. В математике под «числами» могут подразумеваться элементы произвольного поля, тогда как в физике имеются в виду действительные или комплексные числа. О функции, принимающей скалярные значения, говорят как о скалярной функции.
Кратномасштабный анализ (КМА) является инструментом построения базисов вейвлетов. Он был разработан в 1988/89 гг. Малла и И. Мейром. Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов.
Непреры́вное отображе́ние (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.
Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью.
Со́бственный ве́ктор — понятие в линейной алгебре, определяемое для произвольного линейного оператора как ненулевой вектор, применение к которому оператора даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение. Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется собственным числом (или собственным значением) линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является квадратная...
Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного (или ко́мпле́ксной переме́нной; сокращенно — ТФКП) — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.
В математике, норма́льная фо́рма — простейший либо канонический вид, к которому объект приводится эквивалентными преобразованиями.
Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.
Кэлеровы дифференциалы представляют собой адаптацию дифференциальных форм для произвольных коммутативных колец или схем. Это понятие было введено Эрихом Кэлером в 1930-х.

Подробнее: Кэлеров дифференциал
Отношение инцидентности — это бинарное отношение между двумя различными типами объектов. Это включает понятия, которые можно выразить такими фразами как «точка лежит на прямой» или «прямая принадлежит плоскости». Наиболее существенное отношение инцидентности — между точкой P и прямой l, которое записывается как P I l. Если P I l, пара (P, l) называется флагом. В разговорном языке существует много выражений, описывающих отношение инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит на...

Подробнее: Инцидентность (геометрия)
Свобо́дный мо́дуль — модуль F над кольцом R (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), если он либо является нулевым, либо обладает базисом, то есть непустой системой S элементов e1,…ei…, которая является линейно независимой и порождает F. Само кольцо R, рассматриваемое как левый модуль над собой, очевидно обладает базисом, состоящим из одного единичного элемента кольца, а каждый модуль с конечным базисом из n элементов изоморфен прямой сумме Rn колец R, рассматриваемых как модули...
В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, поэтому оно появляется в большинстве её приложений.

Подробнее: Естественное преобразование
Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами — раздел коммутативной алгебры, возникший в семидесятых годах прошлого века.
В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.

Подробнее: Монодромия
Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции.
В вычислительной математике одной из наиболее важных задач является создание эффективных и устойчивых алгоритмов нахождения собственных значений матрицы. Эти алгоритмы вычисления собственных значений могут также находить собственные векторы.

Подробнее: Алгоритм вычисления собственных значений
Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой. Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.
Ортогонализация ― процесс построения по заданному базису линейного пространства некоторого ортогонального базиса, который имеет ту же самую линейную оболочку. Ввиду удобства и важности ортогональных базисов в различных задачах, важны и процессы ортогонализации.
Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.
Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и тому подобных, а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть...
Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.
Метод опорных векторов (англ. SVM, support vector machine) — набор схожих алгоритмов обучения с учителем, использующихся для задач классификации и регрессионного анализа. Принадлежит семейству линейных классификаторов и может также рассматриваться как специальный случай регуляризации по Тихонову. Особым свойством метода опорных векторов является непрерывное уменьшение эмпирической ошибки классификации и увеличение зазора, поэтому метод также известен как метод классификатора с максимальным зазором...
В математике, когерентные пучки — это класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами пространства-носителя. В определении когерентного пучка используется пучок колец, который хранит эту геометрическую информацию.

Подробнее: Когерентный пучок
Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.
Ориента́ция, в классическом случае — выбор одного класса систем координат, связанных между собой «положительно» в некотором определённом смысле.
Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием...
Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных.

Подробнее: Равенство смешанных производных
В квантовой механике, преобразование Вигнера — Вейля (названо в честь Германа Вейля и Юджина Вигнера) — обратимое отображение функций в представлении фазового пространства на операторы гильбертова пространства в представлении Шредингера.
Интеграл Даниеля — одно из обобщений интеграла Римана, альтернативное понятию интеграла Лебега.
Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — математическое отображение между множествами, в котором каждое из них наделено какой-либо дополнительной структурой (порядком, топологией, алгебраическими операциями). Понятие оператора используется в различных разделах математики для отличия от другого рода отображений (главным образом, числовых функций); точное значение зависит от контекста, например в функциональном анализе под операторами понимают отображения...
Центра́льное многообра́зие особой точки автономного обыкновенного дифференциального уравнения — инвариантное многообразие в фазовом пространстве, проходящее через особую точку и касающееся инвариантного центрального подпространства линеаризации дифференциального уравнения. Важный объект изучения теории дифференциальных уравнений и динамических систем. В некотором смысле, вся нетривиальная динамика системы в окрестности особой точки сосредоточена на центральном многообразии.
Особенность, или сингулярность в математике — это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка, в которой функция имеет разрыв или недифференцируема).
Двойственность, или принцип двойственности, — принцип, по которому задачи оптимизации можно рассматривать с двух точек зрения, как прямую задачу или двойственную задачу. Решение двойственной задачи даёт нижнюю границу прямой задачи (при минимизации). Однако, в общем случае, значения целевых функций оптимальных решений прямой и двойственной задач не обязательно совпадают. Разница этих значений, если она наблюдается, называется разрывом двойственности. Для задач выпуклого программирования разрыв двойственности...
Вычислительные (численные) методы — методы решения математических задач в численном видеПредставление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел.
Разложение Шмидта — определённого типа выражение для вектора в тензорном произведении двух гильбертовых пространств.
Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов.
К вейвлет-функциям с компактным носителем относятся вейвлеты Добеши, койфлеты и симмлеты. Метод построения вейвлет-функций с компактным носителем принадлежит Ингрид Добеши. Койфлеты являются частным случаем вейвлетов Добеши с нулевыми моментами скейлинг-функции.

Подробнее: Вейвлет Койфлет

Упоминания в литературе (продолжение)

Прежде чем приступить к последовательному анализу проблемы, отметим, что выделение отдельных процедур (способов) научного познания психической реальности достаточно условно. Ведь «речь идет о характеристиках одного и того же объекта, т. е. о характеристиках, которые в силу этого простого факта неразрывно связаны друг с другом. Естественно, связаны и соответствующие способы анализа» (Никитин, 1988, с. 11). Так, изучение структуры предполагает тщательное исследование компонентов объекта и его функций, а последние постоянно подвергаются динамике, изменению и, следовательно, требуют подробного генетического анализа и т. д. Конкретно-научная методология исследования, построенная на соответствующих научных процедурах, создает базис для формулировки основных положений искомой теории, которые включают в себя представления о «неотъемлемых, имманентно присущих» изучаемому объекту свойствах (атрибутах), о компонентах (субстрате), о характере развития (генезе), о специфически оформленной организации (структуре) и о стабильных поведенческих действиях (функциях).
Логика организации, как составная часть методологии, является связующим блоком разнообразного комплекса методов, средств, процессов, задач и принципов КУИОТ. Она превращает структурные элементы КУИОТ в гармонизированный комплекс, составляющий целостный, устойчивый организм по развитию качества функционирования ИСТ. В логику организации входит реализация задач по установлению целей, задач, функций и других категорий КУИОТ. Теоретическим базисом логики организации может служить комплекс средств, в частности, построение дерева целей КУИОТ.
Ясная оценка коэффициентов и правильное понимание того, как они образуются, – это просто базис для всех ваших ставок. Не забывайте, что коэффициенты не просто цифры: они выражают вероятность исхода того события, на которое вы делаете ставку.
Но как быть с частотой вибрации основной чакры? Очевидно, что подбор частотных интервалов между тонами отдельных чакр относится к настройке внутренней резонансной системы человека – для совершения такой настройки нужно от чего-то отталкиваться. Таким базисом оказывается частота настройки первой чакры – это будет основной тон, – так как она относится не только к внутренней, но и к внешней резонансной системе, поскольку определяет общее взаимодействие человека и внешнего энергоинформационного поля. Кроме того, все мы рождаемся и живем в едином энергетическом поле Земли, которое тоже имеет свои отличительные характеристики – частоту вибрации, например. Понятно, что для достижения гармонии человеку важно быть сонастроенным с колебаниями нашей планеты. Чем лучше это выполнено, тем более свободно и интенсивно происходит энергетический обмен между человеческим организмом и внешним полем, тем свободнее происходит движение энергии внутри него, тем выше его иммунитет, крепче здоровье и благополучнее он сам. Значит, взятая отдельно настройка чакр согласно гамме гармонического звукоряда, но в отрыве от учета колебаний Земли не даст ровным счетом ничего. Только соблюдение двух условий: настройка первой чакры на частоту электромагнитной вибрации Земли и сохранение отношений частот правилам натурального звукоряда – позволит достигнуть положительного результата. Если выполнены оба этих условия, результатом будет и сбалансированная настройка внутри объекта, и полный гармоничный внешний резонанс объекта с окружающей средой.
С учетом дидактической специфики входного модуля М-0 и его учебных элементов (УЭ-I – УЭ-XIII), целенаправленных на коррекцию довузовских знаний, коррекционные цели данного модуля составляют базис, на который возводится пирамида дидактических целей (рис. 4). Модули М-10, М-11, М-12, М-13, в содержание которых входит соответственно химия s-, p-, d– и f-элементов, кроме приобретения новых знаний, способствуют закреплению полученных при усвоении модулей М-1 – М-9 знаний на конкретных химических объектах (веществах и процессах). Студенты проявляют знания, умения и навыки при характеристике свойств химических веществ, проведении химических процессов, выборе методов их исследования, использовании реактивов, приборов и химической посуды.
При переформулировании надо учесть, что описание проблемной ситуации фиксирует не только элементы и структуру, но и эмпирический базис, ментальные модели. Полезно поставить вопрос: как еще можно составить описание проблемной ситуации, какими средствами, с учетом каких мотивов и установок? 
Смысловая целостность текста заключается в единстве его темы. «Темой целого текста или микротекста мы считаем смысловое ядро, понимаемое как обобщенный концентрат всего содержания текста»5. Формулировка задач исследования семантики текста заключается в описании смысловой структуры текста или части текста и особенно семантических отношений, вытекающих из смысловой структуры отдельных предложений. Это основная проблема семантической когеренции текста или семантической связи между предложениями. Отсутствие семантической когерентности (связности) делает текст некорректным, а ее наличие отличает тексты от псевдотекстов типа словарей, разговорников и т. д. Таким образом, семантическая когеренция является необходимым условием конституции текста. Что касается проблемы темы текста, то говорящий или пишущий никогда не представляет себе общего семантического базиса текста, он знает одну или несколько тем, которые будут затронуты. Тема может быть представлена в форме простого или сложного базисного предложения. Возможность раскрытия одной темы в разных текстах и соответствия одного текста нескольким разным темам свидетельствует о неоднозначности соотношения темы и текста. Тема текста связана с общим значение (содержание) текста посредством тематического или семантического развития и семантической связи (в узком смысле).
Фундаментальный базис этой новой концепции был заложен биологом, нейрофизиологом и философом Франсиско Варелой. А к числу ее активных сторонников сегодня могут быть отнесены такие ученые, как Рендал Бир, Роберт Брукс, Тимоти ван Гелдер, Антонио Дамазио, Энди Кларк, Джорж Лакофф, Мелани Митчел, Патти Маес, Алва Ноэ, Ховард Патти, Эрих Прем, Эстер Телен, Эван Томпсон, Давид Чалмерс, Тим Цимке и многие другие.
а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я