Значение словосочетания «порядковое число»

  • В теории множеств порядковым числом, или ординалом (лат. ordinalis — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (лат. trans — за, через + finitio — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.

    Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году как способ описания бесконечных последовательностей, а также классификации множеств, обладающих определённой упорядоченной структурой. Он случайно открыл порядковые числа, работая над задачей, связанной с тригонометрическими рядами.

    Множества

    S

    {\displaystyle S}

    и

    S

    {\displaystyle S'}

    обладают одинаковой мощностью, если между ними можно установить биективное соответствие (то есть указать такую функцию

    f

    {\displaystyle f}

    , которая одновременно является инъективной и сюръективной: каждому

    x

    {\displaystyle x}

    из

    S

    {\displaystyle S}

    соответствует единственное

    y

    =

    f

    (

    x

    )

    {\displaystyle y=f(x)}

    из

    S

    {\displaystyle S'}

    , а каждое

    y

    {\displaystyle y}

    из

    S

    {\displaystyle S'}

    является образом единственного

    x

    {\displaystyle x}

    из

    S

    {\displaystyle S}

    ).

    Предположим, что на множествах

    S

    {\displaystyle S}

    и

    S

    {\displaystyle S'}

    заданы частичные порядки

    <

    {\displaystyle <}

    и

    <

    {\displaystyle <'}

    соответственно. Тогда частично упорядоченные множества

    (

    S

    ,

    <

    )

    {\displaystyle (S,<)}

    и

    (

    S

    ,

    <

    )

    {\displaystyle (S',<')}

    называются изоморфными с сохранением порядка, если существует биективное

    f

    {\displaystyle f}

    , при которой заданный порядок сохраняется. Иначе говоря,

    f

    (

    a

    )

    <

    f

    (

    b

    )

    {\displaystyle f(a)<'f(b)}

    тогда и только тогда, когда

    a

    <

    b

    {\displaystyle a

    . Любое вполне упорядоченное множество

    (

    S

    ,

    <

    )

    {\displaystyle (S,<)}

    изоморфно с сохранением порядка по отношению к естественно упорядоченному множеству порядковых чисел, меньших некоторого определённого ординала (равного порядковому типу

    (

    S

    ,

    <

    )

    {\displaystyle (S,<)}

    ).

    Конечные порядковые (и кардинальные) числа представляют собой числа натурального ряда: 0, 1, 2, …, поскольку два любых полных упорядочения конечного множества изоморфны с сохранением порядка. Наименьшее бесконечно большое порядковое число

    ω

    {\displaystyle \omega }

    отождествляется с кардинальным числом

    0

    {\displaystyle \aleph _{0}}

    . Однако в случае трансфинитных чисел, больших

    ω

    {\displaystyle \omega }

    , ординалы — по сравнению с кардинальными числами — позволяют выразить более тонкую классификацию множеств, основанную на информации об их упорядоченности. В то время как все счетные множества описываются одним кардинальным числом, равным

    0

    {\displaystyle \aleph _{0}}

    , число счетных ординалов бесконечно велико и притом несчетно:

    ω

    ,

    ω

    +

    1

    ,

    ω

    +

    2

    ,

    ,

    ω

    2

    ,

    ω

    2

    +

    1

    ,

    ,

    ω

    2

    ,

    ,

    ω

    3

    ,

    ,

    ω

    ω

    ,

    ,

    ω

    ω

    ω

    ,

    ,

    ε

    0

    ,

    .

    .

    .

    {\displaystyle \omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots ,\varepsilon _{0},...}

    В данном случае сложение и умножение не обладают свойством коммутативности: так,

    1

    +

    ω

    {\displaystyle 1+\omega }

    совпадает с

    ω

    {\displaystyle \omega }

    , но отличается от

    ω

    +

    1

    {\displaystyle \omega +1}

    ; аналогично

    2

    ω

    =

    ω

    {\displaystyle 2\cdot \omega =\omega }

    , но не равно

    ω

    2

    {\displaystyle \omega \cdot 2}

    . Множество всех счетных ординалов образует первое несчетное порядковое число

    ω

    1

    {\displaystyle \omega _{1}}

    , соответствующее кардинальному числу

    1

    {\displaystyle \aleph _{1}}

    (следующее число после

    0

    {\displaystyle \aleph _{0}}

    ). Вполне упорядоченные кардинальные числа отождествляются с их начальными ординалами, то есть минимальными ординалами соответствующей мощности. Мощность порядкового числа задает между классами порядковых и кардинальных чисел соответствие по типу «многие к одному».

    Обычно произвольный ординал

    α

    {\displaystyle \alpha }

    определяется как порядковый тип множества ординалов, строго меньших

    α

    {\displaystyle \alpha }

    .

    Данное свойство позволяет представить любое порядковое число в виде множества ординалов, строго меньших его самого.

    Все порядковые числа можно разбить на три категории: нуль, следующее порядковое число и предельное порядковое число (последние различаются своей конфинальностью).

    Для заданного класса порядковых чисел можно указать его

    α

    {\displaystyle \alpha }

    -й элемент — иначе говоря, элементы класса можно проиндексировать (сосчитать).

    Такой класс будет замкнутым и неограниченным при условии, что функция индексирования непрерывна и никогда не останавливается. Нормальная форма Кантора позволяет единственным образом представить любое порядковое число в виде конечной суммы порядковых степеней

    ω

    {\displaystyle \omega }

    .

    Тем не менее, такая форма не может использоваться в качестве основы для универсальной системы обозначения порядковых чисел из-за наличия в ней автореферентных представлений: например,

    ε

    0

    =

    ω

    ε

    0

    {\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\varepsilon _{0}}}

    .

    Можно определять все более крупные порядковые числа, однако по мере роста их описание усложняется. Любое порядковое число можно представить в виде топологического пространства, приписав ему порядковую топологию.

    Такая топология будет дискретной, тогда и только тогда, когда соответствующий ординал не превышает счётного кардинального числа, то есть меньше или равен

    ω

    {\displaystyle \omega }

    .

    Подмножество

    ω

    +

    1

    {\displaystyle \omega +1}

    будет открытым в порядковой топологии тогда и только тогда, когда оно является кофинитным или не содержит

    ω

    {\displaystyle \omega }

    в качестве элемента.

Источник: Википедия

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: анцестральный — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Нейтральное
Положительное
Отрицательное
Не знаю

Предложения со словосочетанием «порядковое число»

Цитаты из русской классики со словосочетанием «порядковое число»

  • Городничий. Да, и тоже над каждой кроватью надписать по-латыни или на другом каком языке… это уж по вашей части, Христиан Иванович, — всякую болезнь: когда кто заболел, которого дня и числа… Нехорошо, что у вас больные такой крепкий табак курят, что всегда расчихаешься, когда войдешь. Да и лучше, если б их было меньше: тотчас отнесут к дурному смотрению или к неискусству врача.
  • Степени знатности рассчитаю я по числу дел, которые большой господин сделал для отечества, а не по числу дел, которые нахватал на себя из высокомерия; не по числу людей, которые шатаются в его передней, а по числу людей, довольных его поведением и делами.
  • Стародум. О! те не оставляют двора для того, что они двору полезны, а прочие для того, что двор им полезен. Я не был в числе первых и не хотел быть в числе последних.
  • (все цитаты из русской классики)

Понятия, связанные со словосочетанием «порядковое число»

  • Гиперко́мпле́ксные числа — различные расширения вещественных чисел, такие как комплексные числа, кватернионы и пр.

    Подробнее: Гиперкомплексное число
  • Одночлен (также моном) — простое математическое выражение, прежде всего рассматриваемое и используемое в элементарной алгебре, а именно, произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, взятых каждая в неотрицательной целой степени .
  • В математике, норма́льная фо́рма — простейший либо канонический вид, к которому объект приводится эквивалентными преобразованиями.
  • Теорема о разностях — теорема, связывающая понятия производной и прямой конечной разности высших порядков для степенной функции натурального показателя степени.
  • В математике, симметрической алгеброй S(V) (также обозначается Sym(V)) векторного пространства V над полем K называется свободная коммутативная ассоциативная K-алгебра с единицей, содержащая V.

    Подробнее: Симметрическая алгебра
  • (все понятия)

Афоризмы русских писателей со словом «порядковый»

Отправить комментарий

@
Смотрите также

Предложения со словосочетанием «порядковое число»

  • В какое из порядковых чисел месяца вы родились? Это очень важный источник информации о вас.

  • Соседи по дому, с которыми он мало общался, виделись ему длинным унылым рядом порядковых чисел.

  • Третий блок заполнен информацией о соответствующем порядковому числу дня законе физической вселенной, взятой из фильма "Круги на полях, правильная расшифровка пиктограмм" 4:06:09, опубликованного на ютубе каналом «Круги на полях» 09.01.2015.

  • (все предложения)

Синонимы к словосочетанию «порядковое число»

Ассоциации к слову «порядковый»

Ассоциации к слову «число»

Морфология

Правописание

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я