Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов

Роман Сиренко, 2009

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

7. Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

Статистически неопределимые задачи — это задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений статистики. Недостающие уравнения составляются исходя из условия совместности деформаций. Для примера рассмотрим систему, представленную на Рис. 2.1.

Рис. 2.1

Пусть крайние стержни, имеющие равные площади поперечных сечений (F₁ = F₂) — стальные, средний стержень площадью F₃ — медный. Длина среднего стержня — ℓ₃, крайних — ℓ₁ = ℓ₂; допускаемые напряжения для стали — [σ_c], для меди — [σ_м]. Определить размеры поперечных сечений стержней под действием подвешенного груза Q. Установим силы, действующие на каждый из трех стержней. Считаем их растягивающими. Для их определения рассмотрим равновесие точки А. Схема действия сил на рисунке 2.2.

Рис. 2.2

Точка А в результате деформации переместится в точку А₁. Отрезок АА₁ — удлинение среднего стержня Δℓ₃. Отрезки АВ₂ и АС₂ — удлинения первого стержня ∆ℓ₁ и второго — ∆ℓ₂ соответственно. Определим удлинения стержней ∆ℓ₁, ∆ℓ ₂, ∆ℓ₃ по закону Гука

Найдя из чертежа зависимость между этими удлинениями, получим дополнительное уравнение совместности деформаций. Из треугольника А₁АВ₂ имеем:

АВ₂ = АА₁cosα или ∆ℓ₁ = ∆ℓ₃cosα

Подставляя значения ∆ℓ₁ и ∆ℓ₃ в это уравнение, получим:

Из треугольника АВД получаем ℓ₃ = ℓ₁cosα, тогда

Подставляем значение N₁ в уравнение равновесия и получаем:

По величинам этих усилий и допускаемым напряжениям определим F₁ и F₃ из условий: