Четыре дамы и молодой человек в вакууме. Нестандартные задачи обо всем на свете

И. А. Леенсон, 2019

Замечательный химик и популяризатор науки Илья Леенсон был автором не только множества книг, но и уникальных задач, большую часть которых он придумывал для Московского интеллектуального марафона и Летних лингвистических школ. Теперь они объединены в один сборник, и у читателя есть возможность познакомиться с этими остроумными и нестандартными задачами из самых разных областей знания – от астрономии до химии, от русской поэзии до скандинавской мифологии, от криптографии до нумизматики. Иногда для их решения достаточно находчивости и здравого смысла, но часто требуются эрудиция или короткие математические выкладки. Ответы же, по сути дела, представляют собой увлекательные научно-популярные заметки, которые опровергают стереотип о строгом делении наук на гуманитарные и естественные. Книга будет интересна и школьникам, и всем, кто захочет испытать свой интеллект и расширить кругозор.

Вычисления и умозаключения

Причуды языка

Проанализируйте следующие утверждения:

1. Этот ученый достаточно велик, чтобы приписывать ему чужие открытия.

2. Этот ученый достаточно велик, чтобы не приписывать ему чужие открытия.

3. Этот ученый недостаточно велик, чтобы приписывать ему чужие открытия.

4. Этот ученый недостаточно велик, чтобы не приписывать ему чужие открытия.

Каков смысл каждого из этих утверждений? Все ли они верны с точки зрения грамматики и логики? Какое из них, скорее всего, могло бы встретиться в печати?

Книжный червь прогрызает иврит

В популярных сборниках головоломок, в том числе в одной из книг Якова Перельмана, встречается задача о книжном черве. Владимир Арнольд в книге «Задачи для детей от 5 до 15 лет» сформулировал ее так: «В московской библиотеке на полке стоят тома собрания сочинений Л. Н. Толстого. Толщина каждого тома (считая только страницы) 2,5 см, толщина переднего и заднего корешка тома по 2 мм. Книжный червь прогрыз (перпендикулярно страницам) ход от первой страницы четвертого тома до последней страницы пятого тома. Какова длина этого хода?»^[5]

Решите задачу, если вы столкнулись с ней впервые, и подумайте: как изменится ответ, если червь грызет такие же по размерам тома, изданные на арабском или иврите, в библиотеках Египта или Израиля?

Из черновых набросков к «Илиаде»

В одном из черновых набросков к «Илиаде» описана альтернативная версия похищения Елены. Ее муж Менелай Атреевич держал жену подальше от людских глаз в высокой башне, которую охранял циклоп. Парис сумел проникнуть в башню с благородной целью освобождения Елены. Циклоп поступил нестандартно: он показал Парису 100 пронумерованных мешков, доверху наполненных золотыми монетами. Но только в одном были настоящие, весом по 10 г, а в остальных 99 мешках — фальшивые, весом по 9 г, но выглядели они как настоящие. Для безопасного выхода с Еленой на волю Парису нужно отблагодарить многих чудовищ-охранников, которые принимают только настоящие монеты. Циклоп позволил Парису взять любой мешок, а чтобы найти нужный, разрешил произвести одно-единственное взвешивание на своих весах (они были у него от лучшей фирмы и позволяли очень точно определить массу любого числа монет). Парис очень опечалился, поскольку счел задачу неразрешимой. Можно было бы последовательно взвешивать по одной монете из каждого мешка, но дальше все зависит от везения: может понадобиться целых 99 взвешиваний. Но Елена, которая была не только прекрасной, но и премудрой, нашла решение. Что она сказала Парису?

Приведите общую идею решения, а если сможете, то подтвердите ее расчетом.

Как Пушкин деньгу зашибал

Гоголь очень завидовал успеху Пушкина и все допытывался, большую ли деньгу он зашибает своими стихами. Пушкин все как-то отговаривался, а потом ответил загадкой: «За четыре дюжины моих строк я получаю столько рублей, сколько строк мне надо написать, чтобы заработать дюжину рублей». После этого Гоголь от него отстал, сжег свои «Мертвые души» и до конца дней все считал, сколько же получил Пушкин за «Евгения Онегина».

1. Попробуйте помочь Гоголю и сосчитать, сколько же платили Пушкину за одну строку и сколько строк он должен был написать, чтобы заработать дюжину рублей.

2. Выражение «зашибить деньгу» означает в просторечии «заработать деньги». Оно произошло от названия монеты «деньга» (до 1796 года на монетах писали «денга», с 1849 по 1867 годы она называлась «денежка»). Какую часть рубля составляла деньга?

3. Какое название было раньше распространено для 12 дюжин? (Его использовали в торговле для разных мелких товаров, например карандашей, пуговиц.)

Прокатили

Петя по выходным дням ездил в гости к двум приятелям, которые жили недалеко от конечных станций метро на той же ветке, на которой жил Петя (а он жил близко к центру). Чтобы не обижать никого из товарищей, Петя решил, что будет выходить из дома, не глядя на часы, т. е. в случайное время с 11 до 12 часов по воскресеньям, и садиться в тот поезд, который придет раньше, считая, что в среднем за год он побывает примерно одинаково часто у обоих приятелей. Тем не менее один из приятелей все-таки на него обиделся, поскольку за весь год Петя побывал у него лишь несколько раз. Как это могло случиться, если в выбранное Петей время поезда в обе стороны ходят с промежутком ровно пять минут?

Джеймс Бонд бежит по шпалам

Вася очень нервничал: им по алгебре задали трудную задачу, которую он никак не мог решить; и одно неизвестное вводил, и два — все никак не получалось.

— Может быть, я решу? — спросил его маленький братишка Петя.

— Куда тебе, — сказал Вася. — Ты же еще в школу не ходишь и даже не знаешь, что такое алгебра.

— Зато я умею читать и считать и даже немножко дроби знаю, — сказал брат, взял Васин учебник и прочитал задачу:

«Джеймс Бонд, агент 007, успешно выполнив очередное задание, перебирался на другой берег широкой реки, берега которой были соединены очень длинным и узким железнодорожным мостом с одной колеей. Сетка, ограждающая с двух сторон мост, была так близко от рельсов, что, если бы поезд застал Бонда на мосту, его гибель была бы неминуемой. Однако у Бонда не было выхода, и он быстро пошел по шпалам на другой берег. Пройдя 4/10 всего моста, он услышал далеко позади свисток локомотива. Обернувшись, Бонд увидел вдали от моста приближающийся поезд. Опытный разведчик тут же определил, что скорость поезда 50 миль в час. Не более мгновения у него ушло и на то, чтобы понять, что если он побежит назад, то добежит до конца моста в ту же секунду, когда к мосту подъедет поезд, так что он успеет спрыгнуть с рельсов; если же он побежит вперед, то тоже спасется, так как добежит до дальнего конца моста за мгновение до того, как его догонит поезд. С какой скоростью бежал Джеймс Бонд по шпалам?»

Подумав немного и ничего не записывая, Петя сказал:

— Я не знаю, что такое миля, но Бонд бежал со скоростью…

Вася заглянул в ответ: все точно!

1. Как решил задачу Петя?

2. Переведите полученный Петей ответ в метрическую систему.

3. Слово «миля» произошло от латинского mille (тот же корень в словах «миллиметр», «миллиграмм», «миллилитр», «миллион» и др.). Как вы думаете, почему она так названа?

Подсказка: эта единица возникла в Древнем Риме и называлась mille passuum; тот же корень, что во втором слове, можно найти в слове «па» (движение в танце) — от французского pas.

«Что-то физики в почете. Что-то лирики в загоне…»

1. Много лет назад в моде был спор между так называемыми физиками и лириками. Чтобы завершить его, физики вывели уравнение:

ЛИРИК = 1/2 ФИЗИКА,

в котором кроме основного смысла был и математический: каждая буква изображала какую-либо цифру, при этом равенство было верным.

Расшифруйте этот числовой ребус.

2. Если вы считаете, что физики решили спор некорректно по отношению к лирикам, никто не мешает вам переделать эту же задачу и решить уже ее:

ФИЗИК = 1/2 ЛИРИКА.

Коллекция номерных знаков

В 1990-х годах в России начали вводить новые автомобильные международные номера. В прежних номерах (например, О 2144 МТ на старой машине автора задачи) использовались почти все буквы русского алфавита (кроме таких экзотических букв, как Й, Ь, Ъ). В новых номерах должны были быть только такие буквы, начертание которых совпадает в русском и латинском алфавитах. Вот образец такого номера: У 025 ХО 77 RUS. (Число 77 — код региона, в данном случае это код Москвы.) Вскоре ввели новый индекс — 99, затем 97, потом появились уже трехзначные индексы (177, 199, 197, 777, 799).

Как вы думаете, почему так часто приходилось менять московский индекс?

Ваш ответ подтвердите вычислениями.

Две башни

Останкинская телебашня в Москве — одно из самых высоких сооружений в мире; ее высота — 530 м, а масса — 30 000 т. Какова будет масса точной модели этой башни, выполненной с сохранением всех пропорций, высотой 53 см? Считайте, что плотность материалов, из которых изготовлена башня и модель, примерно одинакова.

«А у вас и волосы на голове все сочтены»

Как вы думаете, найдется ли в Москве два нелысых человека, у которых число волос на голове полностью совпадает? Ответ необходимо аргументировать.

Исчисление снежинок

Однажды в Москве в течение трех часов шел сильный снег. Оцените, сколько снежинок выпало за это время на город (в пределах МКАД) и сколько снега (по массе) выпало на 1 м². Предположите, что каждую секунду на 1 дм² падает десять снежинок. (Дополнительные сведения: 30 капель из пипетки имеют объем около 1 мл, а одна снежинка, растаяв, дает капельку, в 30 раз меньшую, чем капля из пипетки.)

Дополнительный вопрос: как можно проверить сделанные в задаче допущения?

«Гордый холм»

Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,

И гордый холм возвысился — и царь

Мог с вышины с весельем озирать

И дол, покрытый былыми шатрами,

И море, где бежали корабли.

1. Откуда взят отрывок? Кому принадлежит приведенный монолог?

2. Считая, что у легендарного царя был миллион воинов (огромное войско, вряд ли возможное в древности), оцените приблизительно, какой высоты холм могли бы насыпать эти воины, приносящие землю двумя руками (предположим, что получился конус, радиус основания которого равен высоте, царь стоял на самой верхушке, а земля в холме не утрамбовывалась).

3. Используя полученную вами высоту холма, определите, как далеко он мог быть от моря, чтобы царь одновременно «озирал и дол, и море».

Cтройнеет не по дням, а по минутам

Одна из самых известных толстушек, американская артистка цирка Селеста Гейер, решила похудеть и за 14 месяцев сбросила свой вес с 553 до 152 фунтов (этот результат был внесен в Книгу рекордов Гиннесса). Чему равен американский фунт, если средняя скорость похудения артистки составила 17,8 г в час?

Небесный свод в разрезе

В книге «Физико-математические развлечения», вышедшей в 1636 году, сказано: «Астрономы вычислили, что длина окружности небесного свода равна 508 781 250 милям, поверхность же его — 82 364 023 748 224 431 ⁹/₁₁ квадратным милям. Из этого следует, что объем шара такого же радиуса равен примерно 3 596 299 963 139 791 266 979 190 761 957 504 кубическим милям».

Правильно ли почти 400 лет назад астрономы определили длину окружности «небесного свода», если считать, что этот свод находится от Земли на расстоянии Солнца? (По современным данным, среднее расстояние от Земли до Солнца составляет 149,5 млн км; 1 миля = 1,61 км.) В чем был неправ автор старой книги, приводя все эти сведения?

Три диска

Видимые угловые диаметры Луны и Солнца (0,5°) практически совпадают. Именно поэтому Луна может полностью перекрыть Солнце во время солнечного затмения. На какое максимальное расстояние нужно отодвинуть от глаза современный металлический рубль, чтобы в полнолуние он смог полностью перекрыть лунный диск?

Земной поясок

Представьте себе, что Земля — идеально гладкий шар, который туго обвязали по экватору ремешком (кто не помнит, длина экватора — около 40 000 км). Удлиним этот ремешок на полметра и образовавшийся зазор равномерно распределим по всей длине экватора. Пролезет ли тогда под ним кошка? А муравей? Подтвердите свой ответ расчетом.

Катавасия с ванилином

В Книге рекордов Гиннесса за 1995 год сказано, что самое большое в мире помещение — ангар для дирижаблей фирмы Goodyear airship (штат Огайо), его объем — 55 млн кубических футов. Там же говорится, что ванилин (4-гидрокси-3-метоксибензальдегид) — химическое соединение, запах которого человек может обнаружить в наименьшей концентрации — 2,0 ∙ 10^–11 г — в 1 л воздуха.

1. Представьте, что в 1995 году в самом большом в мире ангаре просыпали ванилин, он испарился, и его запах еле чувствуется в любой точке ангара. (Считайте, что ангар был герметично закрыт.) На какую сумму просыпали ванилин? В каталоге химических реактивов фирмы Aldrich 1995 года указана цена ванилина: 37 долларов за 500 г реактива.

2. Сколько молекул ванилина содержится в 1 см³ воздуха, если его запах еле ощущается? Метоксильная группа ОСН₃ содержит атом кислорода и метил; бензальдегид — вещество того же типа, что и уксусный альдегид, только вместо группы СН₃ в нем имеется фенильная группа С₆Н₅, т. е. это альдегид бензойной кислоты СООН.

3. Определите годовую инфляцию в США в процентах, если по каталогу той же фирмы 1975 года цена такой же упаковки ванилина была 17 долларов. (Считайте, что инфляция в течение всех 20 лет была постоянной.)

Если вы не помните точных значений, требующихся для решения задачи, используйте приблизительные — на оценку это не повлияет.

Как вы считаете, с какой точностью надо давать ответы?

Примечания

5

Цит. по: Арнольд В. И. Задачи для детей от 5 до 15 лет. — М.: МЦНМО, 2004.