Математика покера от профессионала

Дэвид Склански, 1999

Покер для тех, кто хочет побеждать. «Покер – это не удача, это чистая математика», – с уверенностью заявляет Склански в книге. Легендарный теоретик покера по полочкам раскладывает его математические законы. Он на конкретных примерах объясняет, как стать лучшим игроком. Здесь описаны стратегии и принципы, которые помогут побеждать, вне зависимости от того, насколько вы хорошо блефуете.

2. Ожидание и выигрыш в час

Математическое ожидание

Математическое ожидание показывает, насколько в среднем прибыльной или проигрышной окажется ставка. Данное понятие крайне важно для игроков, поскольку оно помогает оценить большинство игровых проблем. Использование математического ожидания также является лучшим способом для анализа большинства действий в покере.

Допустим, вы ставите $1 на подбрасывание монеты. Каждый раз, когда выпадает орел, вы выигрываете, в противном случае — проигрываете. Шансы, что выпадет орел, равны 1 к 1, и вы ставите $1 против $1. Таким образом, математическое ожидание составляет в точности ноль, поскольку вы не можете математически ожидать оказаться впереди или позади после двух или двухсот подбрасываний.

Ваше почасовое ожидание также в точности ноль. Почасовое ожидание — это размер денежной суммы, которую вы рассчитываете выиграть за час. Даже если вы способны подбросить монетку 500 раз за час, пока вы не получаете отличные от нейтральных шансы, вы не можете ни выигрывать, ни проигрывать деньги. С точки зрения серьезного игрока, это не самая плохая ситуация. Просто потеря времени.

Однако допустим, что кто-то не особенно смышленый готов поставить $2 против вашего $1 на подбрасывание монеты. Внезапно у вас уже есть положительное ожидание в размере 50 центов за бросок. Почему 50 центов? В среднем вы выиграете столько же подбрасываний, как и проиграете. Вы ставите первый доллар и проигрываете, ставите второй — и выигрываете $2. Вы поставили $1 дважды и оказались в плюсе на $1. Каждый раз ставка в $1 выигрывает вам 50 центов. Если вы способны на 500 подбрасываний в час, ваше почасовое ожидание составляет $250, поскольку в среднем вы проиграете $1 250 раз и выиграете $2 250 раз. $500 минус $250 составляет в итоге $250. Еще раз обратите внимание, что ваше математическое ожидание, которое является размером среднего выигрыша за ставку, будет составлять 50 центов.

Математическое ожидание не имеет ничего общего с результатами. Этот простофиля может выиграть первые 10 подбрасываний подряд, но, имея шансы 2 к 1 в ситуации, когда шансы на выигрыш равны, вы все равно зарабатываете 50 центов, ставя $1. Пока у вас достаточный банкрол, чтобы с легкостью покрыть потери, не имеет значения, выигрываете вы или проигрываете отдельно взятую последовательность ставок. Если вы продолжите, то начнете выигрывать, и на дистанции результат будет стремиться к совокупному ожиданию.

Каждый раз, когда шансы в вашу пользу, вы зарабатываете что-то на этой ставке, выигрываете ли вы по факту или проигрываете. В той же мере когда вы ставите, имея шансы не в свою пользу, вы что-то теряете независимо от результата. Серьезные игроки принимают риск, только если шансы в их пользу, и пасуют в ином случае.

Что означает иметь шансы в вашу пользу? Это значит в результате выигрывать больше, чем позволяют реальные шансы. Реальные шансы выпадения орла при подбрасывании монеты — 1 к 1, но вы получаете 2 к 1 за ваши деньги. Шансы в данном случае в вашу пользу. Вы впереди с положительным ожиданием в 50 центов за ставку.

Вот также немного более сложный пример математического ожидания. Человек записывает номер от одного до пяти и ставит $5 против ваших $1, что вы не сможете угадать номер. Должны ли вы принять ставку? Какое ваше математическое ожидание?

В среднем четыре попытки угадать будут неверными и одна верной. Таким образом, шансы ответить правильно — 4 к 1. Чаще всего в отдельной попытке вы проиграете доллар. Однако вы получаете $5 к $1, в то время как реальные шансы 4 к 1. То есть шансы в вашу пользу, вы впереди и должны принять ставку. Если вы сыграете пять раз, в среднем вы проиграете $1 в четырех случаях и выиграете $5 в одном. Вы заработали $1 за пять ставок, имея положительное ожидание в 20 центов за ставку.

Если вы ставите $50 против $10, являясь фаворитом с шансами всего 4 к 1, ваше отрицательное ожидание составляет $2 за ставку, потому что в среднем вы четыре раза выиграете $10 и проиграете $50 один раз, что в сумме приведет к потере $10 после 5 ставок. С другой стороны, если вы ставите $30 против $10, являясь фаворитом с шансами 4 к 1, ваше положительное ожидание составляет $2, так как вы выиграете $10 четыре раза и проиграете $30 один раз, что в сумме даст прибыль в размере $10. Математическое ожидание демонстрирует, что первая ставка является плохой, а вторая — хорошей.

Математическое ожидание лежит в основе любой игровой ситуации. Когда букмекер предлагает клиенту поставить $11, чтобы выиграть $10, он имеет положительное ожидание в размере 40 центов за $10 ставку. Когда казино выплачивает деньги, равные ставке, за столом в крэпс, оно имеет положительное ожидание в размере около $1,40 за ставку $100, поскольку игра сконструирована таким образом, что участник в среднем проиграет в 50,7 % случаев и выиграет в 49,3 %. Действительно, это, казалось бы, мизерное положительное ожидание приносит казино по всему миру их внушительные прибыли. Как сказал владелец казино Vegas World Боб Ступак: «Одна тысячная процента отрицательной вероятности на достаточно длинной дистанции разорит богатейшего человека в мире».

В большинстве игровых ситуаций, таких как крэпс или рулетка в казино, любые предоставляемые шансы фиксированы. В других же случаях они меняются, и математическое ожидание может помочь вам в оценке отдельно взятой ситуации. Например, в блек-джеке, с целью найти правильную стратегию, ученые вычислили математическое ожидание от разных стилей игры. Розыгрыш, дающий вам более высокое ожидание, является верным. Например, когда у вас 16 против 10 дилера, вы — фаворит на проигрыш. Однако, когда эти 16 представляют собой две восьмерки, вашей лучшей игрой будет их разделить, удвоив ставку. Разделив восьмерки против десятки дилера, вы по-прежнему ожидаете потерять деньги, однако отрицательное ожидание будет ниже, нежели если бы вы тянули еще карту, имея две восьмерки против десятки.

Математическое ожидание в покере

Покерные действия могут быть проанализированы с точки зрения математического ожидания. Вы можете думать, что определенный розыгрыш является прибыльным, однако иногда он может оказаться отнюдь не лучшим, поскольку существует более прибыльный вариант. Допустим, у вас фулл хаус в 5-карточном дро. Игрок перед вами делает ставку. Вы знаете, что если вы повысите, ваш противник сделает колл. Следовательно, повышение выглядит лучшей игрой. Однако в таком случае два человека за вами сбросят карты. С другой стороны, если вы уравняете ставку первого игрока, то очень вероятно, что и два игрока за вами сделают колл. Играя через рейз, вы заработаете одну ставку, а через колл — две. В итоге получается, что колл имеет более положительное математическое ожидание, а значит, является лучшей игрой.

Вот аналогичная, но немного более сложная ситуация. На последней улице в 7-карточный стад вы собрали флеш. Оппонент перед вами, которого вы кладете на две пары, ставит, и, кроме того, в раздаче присутствует игрок за вами, — вы уверены, что тоже бьете его. Если вы повысите, противник, сидящий после вас, сбросит. Более того, игрок, первоначально сделавший ставку, вероятно, также сбросит, если он действительно имеет две пары; но если он собрал фулл хаус, то он сделает ререйз. В данной ситуации у игры через рейз не положительное математическое ожидание, а отрицательное. В случае, когда первый игрок собрал фулл хаус и сделает ререйз, такая игра будет стоить вам две ставки, если вы сделаете колл его ререйза, и одну ставку, если сбросите.

Пойдем в этом примере еще дальше. Если вы последней картой не соберете флеш и игрок перед вами сделает ставку, вы можете сделать рейз против определенных оппонентов! Следуя логике ситуации, когда вы не собрали флеш, соперник позади вас сбросит, и если игрок, первоначально сделавший ставку, имел только две пары, он тоже может сбросить. Имеет ли розыгрыш положительное ожидание (или менее негативное ожидание, нежели пас), зависит от шансов, предоставляемых вам за ваши деньги: то есть размер банка и ваши предполагаемые шансы на то, что оппонент, сделавший первоначальную ставку, не имеет фулл хауса и сбросит, имея две пары. Последнее предположение требует, конечно, умения читать руки и оппонентов, о чем я поговорю в более поздних главах. На таком уровне игры расчет математического ожидания становится намного запутаннее, нежели когда вы просто подбрасываете монетку.

Математическое ожидание также способно показать, что один розыгрыш является менее убыточным, нежели другой. Например, когда вы думаете, что теряете 75 центов, включая анте, разыгрывая руку, вы тем не менее должны ее разыгрывать, поскольку это лучше, чем сброс при анте в $1.

Другой важной причиной понимать математическое ожидание является то, что такое понимание позволяет вам хладнокровно относиться к возможному выигрышу или проигрышу ставки: когда вы делаете хорошую ставку или хороший пас, вы будете знать, что заработали или сэкономили конкретную сумму, которую более слабый игрок заработать или сэкономить не смог бы. Намного более сложно сделать волевой пас, если вас перетянули. Однако деньги, которые вы сэкономили, сделав пас вместо колла, прибавляются к вашим выигрышам на конец вечера или месяца. Честное слово: сделав хороший пас, я получаю удовольствие, несмотря на то что проиграл раздачу.

Просто помните, что, поменяй вас местами, ваш оппонент не сделал бы такого паса, и, как мы увидим при обсуждении Фундаментальной теоремы покера в следующей главе, это то, из чего складывается ваше преимущество. Вы должны радоваться подобным моментам. Вам следует даже извлекать удовольствие из проигрышных сессий, когда вы знаете, что другие игроки на вашем месте потеряли бы с вашими картами еще больше денег.

Выигрыш в час

Как говорилось в примере с подбрасыванием монетки в начале этой главы, выигрыш в час тесно связан с математическим ожиданием, и эта концепция особенно важна для профессионального игрока. Когда вы играете в покер, вы должны попытаться оценить ваше почасовое ожидание. По большей части вам придется основывать вашу оценку на суждении и опыте, но не помешает использовать и некоторые математические указания. Например, если вы играете в дро-лоуболл и видите трех игроков, делающих колл на $10 и затем тянущих две карты, что является очень плохой игрой, вы можете сказать себе, что каждый раз, когда они вкладывают $10, они проигрывают в среднем около $2. Упомянутые игроки делают это восемь раз за час, то есть проигрывают примерно $48 в час. Вы — один из четырех других игроков, примерно одинакового уровня мастерства, и, следовательно, вы четверо делите $48 в час, что дает $12 в час на каждого. Ваш выигрыш за час в такой ситуации — это ваша доля от почасовой потери трех плохих игроков в данной партии.

Конечно, в большинстве игр ваша оценка не может быть настолько точной. Даже в предложенном только что примере другие переменные способны повлиять на ваше почасовое ожидание. Кроме того, когда вы играете в открытом карточном клубе или в некой приватной игре, где организатор берет плату, вам необходимо вычесть либо рейк казино, либо почасовую оплату за место. В покерных залах Лас-Вегаса рейк составляет обычно 10 % с каждого банка, максимум $4, в небольших 7-карточных стад играх и 5 % с каждого банка, максимум $3, в крупных 7-карточных стад играх, техасском холдеме и большинстве других разновидностей покера.

На дистанции выигрыш покерного игрока складывается из суммы его математических ожиданий в конкретных ситуациях. Чем больше вы принимаете решений, имеющих положительное математическое ожидание, тем более крупный выигрыш вас ждет. Напротив, чем больше у вас решений, имеющих отрицательное математическое ожидание, тем больше вы потеряете. Таким образом, вам следует почти всегда стараться придерживаться стратегии, максимализирующей ваше положительное ожидание или минимизирующей отрицательное, с целью предельно увеличить свой выигрыш в час.

Как только вы определились с вашим выигрышем за час, вы должны понять, что то, чем вы занимаетесь, — это заработок. Вы больше не играете в традиционном смысле. Вам более не следует переживать по поводу того, хороший вам день выпал или плохой. Если вы играете регулярно, то просто осознайте, что вам лучше играть в покер, делая $20 в час, приходить и уходить по вашему усмотрению, чем работать восьмичасовые смены, получая $15 в час. Рассуждать о покере в романтическом ключе — весьма плохая затея. Думайте о том, что вы работаете игроком в покер и что большой выигрыш не сильно вас волнует. Если приходит, то приходит. И напротив, вы не расстраиваетесь из-за серьезных проигрышей. Если уходит, то уходит. Вы просто играете за определенный почасовой выигрыш.

В случае верной оценки своего почасового ожидания размер вашего итогового выигрыша будет составлять ваше почасовое ожидание, умноженное на количество сыгранных часов. И преимущество вы получаете не из ситуаций, когда вам сдали лучшие карты, а из ваших решений в те моменты, когда ваши оппоненты сыграли бы неверно, будь они на вашем месте. Общая сумма денег, которую они потеряют при своей неверной игре, при условии, что вы все делаете правильно, — это то количество денег, за вычетом рейка, которое вы выиграете. За различные ошибки, сделанные вашими противниками, они каждый час будут платить. Окажись вы с их рукой, вы бы не поступили так, как они, и эта разница является вашим выигрышем в час. Здесь добавить нечего. Если они играют руку против вас иначе, нежели ее сыграли бы вы, пять раз в час, а ошибка стоит в среднем $2, то вот вам прибыль — $10 в час.

Предположение, что ваша игра безупречна, конечно, является очень натянутым. Немногие, если вообще такие люди бывают, все время играют идеально, однако мы стремимся к такой игре. И, следовательно, важно понимать, что нет какого-то одного конкретного правильного розыгрыша покерной руки — это вам не бридж. Напротив, вы должны подстраиваться под оппонентов и стараться играть по-разному даже с одними и теми же противниками, о чем мы поговорим в следующих главах.

Более того, иногда бывает правильно сыграть неверно! Например, можно намеренно сыграть плохо, чтобы получить преимущество в дальнейшем. Кроме того, никто не мешает вам играть хуже, чем оптимально, против слабых оппонентов, имеющих мало денег на проигрыш, или когда у вас самих короткий банкрол. В подобных ситуациях неверно гнаться за незначительным преимуществом. Вам не следует ставить рейзы максимального размера, будучи небольшим фаворитом. Сбрасывайте руки, которые только едва стоят колла. Вы понизили свое почасовое ожидание, но обеспечили выигрыш. Зачем давать слабым игрокам шанс оказаться удачливыми и сорвать большой куш или разорить вас, если у вас скромный банкрол. Вы все равно получите деньги, играя не до конца оптимально. Это всего лишь отнимет у вас еще несколько часов.

Попытайтесь оценить большинство покерных игр с точки зрения вашего почасового ожидания, подмечая, какие ошибки совершают ваши оппоненты и как дорого они им обходятся. Не сидите в игре с недостаточным почасовым ожиданием, если только вы не рассчитываете, что игра вскоре станет лучше — с приходом слабых игроков, или если вам известно, что некоторые из ваших сильных оппонентов, начиная проигрывать, имеют тенденцию скатываться до плохой игры. Если такие хорошие игроки выигрывают, вам следует по возможности выйти. Однако иногда верным решением будет продолжить игру с низким почасовым ожиданием по имиджевым причинам — чтобы о вас не думали как о человеке, играющем только с большим преимуществом. При такой репутации вы можете нажить врагов, потерять деньги на длинной дистанции и даже получить отказ на участие в некоторых играх.