Форма реальности

Джордан Элленберг, 2021

Эта книга изменит ваше представление о мире. Джордан Элленберг, профессор математики и автор бестселлера МИФа «Как не ошибаться», показывает всю силу геометрии – науки, которая только кажется теоретической. Математику называют царицей наук, а ее часть – геометрия – лежит в основе понимания мира. Профессор математики в Висконсинском университете в Мэдисоне, научный сотрудник Американского математического общества Джордан Элленберг больше 15 лет популяризирует свою любимую дисциплину. В этой книге с присущими ему легкостью и юмором он рассказывает, что геометрия не просто измеряет мир – она объясняет его. Она не где-то там, вне пространства и времени, а здесь и сейчас, с нами. Она помогает видеть и понимать скрытые взаимосвязи и алгоритмы во всем: в обществе, политике и бизнесе. Геометрия скрывается за самыми важными научными, политическими и философскими проблемами. Для кого книга Для тех, кто хочет заново открыть для себя геометрию и узнать об этой увлекательной науке то, чего не рассказывали в школе. Для всех, кому интересно посмотреть на мир с новой стороны. На русском языке публикуется впервые.

Глава 2. Сколько отверстий в соломинке?

Всем, кто профессионально занимается математикой, всегда приятно, когда весь интернет день или два решает какую-нибудь математическую задачку. Мы наблюдаем, как другие люди открывают для себя тот способ мышления, которым мы упиваемся всю жизнь (и наслаждаются им). Когда у вас красивый дом, вы ведь, как правило, радуетесь неожиданным визитам гостей.

Задачи, которые захватывают людей, обычно интересны, хотя на первый взгляд могут показаться пустячными. Привлекает и удерживает внимание именно ощущение встречи с реальной математической проблемой.

Например: сколько отверстий в соломинке?

Большинство из тех, кому я задавал этот вопрос, считают ответ очевидным. И бывают крайне удивлены, а иногда даже расстроены, когда узнают, что есть люди, чей очевидный ответ отличается от их собственного.

Насколько я могу судить, впервые вопрос об отверстиях в соломинке появился в статье^[69] супругов Стефани и Дэвид Льюис, вышедшей в 1970 году в журнале Australasian Journal of Philosophy: обсуждаемым трубчатым объектом был рулон бумажных полотенец. Затем этот вопрос всплыл^[70] в 2014 году в виде опроса на каком-то форуме бодибилдеров. Аргументы на форуме отличались по тону от аргументов из философского журнала, но общие контуры полемики оказались довольно сходными: все ответы «ноль отверстий», «одно отверстие» и «два отверстия» имели определенное обоснование.

Затем появился ролик^[71], где два приятеля из колледжа распалялись все сильнее, споря, два отверстия или одно; в итоге он стал вирусным и набрал свыше полутора миллионов просмотров. Задача о соломинке появилась на Reddit, в Twitter и в газете The New York Times. Группа молодых, привлекательных и крайне сбитых с толку сотрудников новостной компании BuzzFeed сняла видео, которое тоже набрало сотни тысяч просмотров^[72].

Вероятно, вы уже начали в уме формулировать основные аргументы. Давайте перечислим их здесь.

Ноль отверстий. Ваша соломинка — это пластиковый прямоугольник, который свернули в трубочку и склеили. В прямоугольнике никаких отверстий не было, и вы не делали в нем никаких отверстий, когда сворачивали трубку, поэтому в нем их нет.

Одно отверстие. Отверстие — это пустое пространство в центре соломинки. Оно занимает все место от верха до низа.

Два отверстия. Да просто посмотрите на нее! Одно отверстие вверху, а другое — внизу.

Моя первая цель — убедить вас, что вы заблуждаетесь насчет отверстий, даже если так не думаете. У каждого из этих вариантов есть серьезные проблемы.

Сначала разберемся с нулем. Предмет может иметь отверстие, даже если из него ничего не убирали. Вы же не делаете бублик, выпекая сначала булочку, а потом пробивая ее центр. Нет, вы раскатываете змейку из теста^[73], а затем соединяете ее концы и получаете бублик. Если вы станете утверждать, что в бублике нет дырки, вас засмеют в любом уважающем себя магазине по всему миру. Считаю, что этот вопрос решен окончательно.

А как насчет теории с двумя отверстиями? Тут возникает такой вопрос: если в соломинке две дырки, то где начинается одна и заканчивается другая? Если это вас не беспокоит, подумайте о кусочке швейцарского сыра. Будете ли вы считать дырки в нем по отдельности сверху и снизу?

Или такой аргумент: заполним чем-нибудь низ соломинки. Иными словами, уберем то, что вы, двухдырочники, считаете нижним отверстием. Теперь соломинка — фактически высокий узкий стакан. Есть ли в стакане отверстие? Да, скажете вы: наверху как раз и есть отверстие. Хорошо, тогда давайте уменьшать высоту стакана, пока он не станет пепельницей. Вы однозначно не будете утверждать, что верх пепельницы представляет собой отверстие. Но если при переходе от стакана к пепельнице дырка пропала, то когда именно?

Вы можете заявить, что пепельница все равно имеет отверстие, поскольку в ней есть углубление — отрицательное пространство, где нет материала, который там мог бы быть. Вы настаиваете, что отверстие «не обязано проходить насквозь», ведь говорят же люди про отверстия в земле. Это справедливое возражение, но я думаю, что если мы станем воспринимать как дыру любую впадину или выемку, то понятие станет слишком широким, а потому бесполезным. Когда вы говорите, что ведро дырявое, то вовсе не имеете в виду какую-то вмятину в его дне, а указываете на то, что оно больше не удерживает воду. Если вы откусываете кусок от булочки, то она от этого не превращается в бублик.

Остается одно отверстие. Это самый популярный из трех вариантов, но я испорчу и его. Когда я задал вопрос о соломинке своей подруге Келли, она отвергла теорию одного отверстия очень просто: «Означает ли это, что рот и анус — одно и то же отверстие?» (Келли преподает йогу, поэтому склонна смотреть на вещи с анатомической точки зрения.) Это хороший вопрос.

Однако давайте предположим, что вы из тех смельчаков, которые рискнут принять равенство рот = анус. Проблемы все равно остаются. Вот сцена из ролика с теми парнями из колледжа (впрочем, если серьезно, лучше посмотрите его сами, я не смогу так точно передать красиво нарастающее разочарование с помощью реплик и сценических указаний). Первый парень — сторонник однодырочной теории, второй — двухдырочной.

Второй (держит вазу). Сколько в ней дырок? Одна, верно?

(Первый выражает согласие невербально.)

Второй (держит рулон бумажных полотенец). Сколько тут дырок?

Первый. Одна.

Второй. Как? (Снова держит вазу.) Неужели они выглядят одинаково?

Первый. Потому что если я сделаю дырку тут (показывает жестом на дно вазы), то все равно остается одна дырка!

Второй (раздраженно). Ты только что сказал: если я сделаю дырку тут (издает что-то вроде раздосадованного причитания).

Первый. Если я сделаю еще одну дырку тут, это будет…

Второй. Правильно — еще одна дырка, включая эту. Две! Точка!

Второй студент в этой сцене выражает весьма правдоподобный принцип: если вы делаете в предмете новую дырку, то число дырок должно увеличиться.

Давайте усложним ситуацию: сколько дырок в штанах? Большинство людей сказали бы, что три — одна на талии и две на концах штанин. Но если вы зашьете талию, то останется большая джинсовая соломинка с изгибом. Если вы начинали с трех отверстий и одно убрали, то должно остаться два, а не одно, не так ли?

Если вы сторонник варианта с одним отверстием в соломинке, то, возможно, скажете, что в штанах только два отверстия, так что после зашивания талии остается одно. Такой ответ я слышу часто, но он страдает тем же, что и теория с двумя дырками в соломинке: если в штанах два отверстия, то где заканчивается одно и начинается другое?

Или вы считаете, что в штанах всего одна дыра, поскольку под ней подразумеваете область отрицательного пространства внутри брюк? А если я порву свои джинсы на коленке и сделаю новую дырку? Она не считается? Вы настаиваете, что это всего лишь новое отверстие, ведущее в ту же самую дыру? И когда вы зашиваете низ штанов или затыкаете низ соломинки, вы не убираете дыру, а просто закрываете один вход (или выход) в нее.

Но это возвращает нас к вопросу, есть ли отверстие в пепельнице. Или еще хуже. Предположим, у меня есть надутый воздушный шарик. Согласно вашему мнению, в шарике есть дыра — пустое пространство внутри. Я беру иголку и прокалываю шарик. Он лопается и превращается в круглый кусок резины (может, с завязанным узлом), который, очевидно, не имеет дыры. Итак, вы взяли предмет с дырой, проделали в нем дыру и получили то, в чем дыры нет.

Вот теперь вы запутались? Надеюсь, что да!

Математика не дает точного ответа на этот вопрос. Она не может вам сказать, что вы подразумеваете под словом «дыра» или «отверстие», — это ваше индивидуальное понимание. Но она может вам подсказать, что вы могли иметь в виду; а это хотя бы не даст вам споткнуться о собственные предположения.

Позвольте мне начать с раздражающе философского заключения: в соломинке два отверстия, но это одно и то же отверстие.

ХОРОШИЕ ВЫВОДЫ ИЗ ПЛОХО НАРИСОВАННЫХ ФИГУР

Здесь мы вступаем в область геометрии под названием топология. В ней нас не волнует величина объектов, их удаленность друг от друга, степень изогнутости или деформации. На первый взгляд это может показаться вопиющим отходом от темы нашей книги, а на второй — оставить вас в недоумении, не предлагаю ли я какой-то геометрический нигилизм, когда нас не заботит ничего.

Нет! Заметная часть математики состоит в том, чтобы понять, о чем мы можем позволить себе не заботиться, временно или навсегда. Такое избирательное внимание — базовая часть нашего мышления. Скажем, вы переходите улицу, и тут какая-то машина проскакивает на красный и мчится на вас. Есть множество вещей, которые вы можете учесть, планируя свой следующий шаг. Можете ли вы достаточно хорошо рассмотреть через ветровое стекло, трезв ли водитель? Какая модель у автомобиля? Надели ли вы сегодня чистое нижнее белье на случай, если в итоге вас собьют и вы будете лежать на асфальте? Все эти вопросы вы не задаете, позволяя себе не заботиться о них, и все свое сознание фокусируете на попытке определить траекторию движения машины, чтобы успеть отскочить с ее пути как можно быстрее и дальше.

Математические задачи обычно не столь драматичны, однако приводят к аналогичным процессам абстрагирования — умышленного игнорирования всех параметров, не относящихся непосредственно к стоящей перед нами проблеме. Ньютон сумел справиться с задачами небесной механики, когда понял, что небесные тела двигаются не по каким-то собственным прихотям, а по универсальным законам, применимым к каждой частице материи во Вселенной. Для этого ему пришлось заставить себя забыть о том, из чего сделан объект и какова его форма: все, что имело для Ньютона значение, — это масса объекта и расположение относительно других тел. Или шагнем еще дальше, к истокам математики. Сама идея числа состоит в том, что при вычислениях вы можете оперировать семью коровами, семью камнями или семью людьми, используя одни и те же правила подсчета и комбинирования, а отсюда уже недалеко до семи наций или семи идей. Не имеет значения (для данных целей), что это за объекты, — важно только их количество.

Топология — это нечто подобное, только для фигур. В своей нынешней форме она восходит к Анри Пуанкаре. Опять он! Это имя мы будем слышать не раз, поскольку Пуанкаре приложил руку к ошеломительно широкому диапазону геометрических идей — от специальной теории относительности до теории хаоса и тасования карт. (Да, тут тоже есть теория, и это тоже геометрия; мы к ней еще вернемся.) Пуанкаре родился в 1854 году в Нанси в состоятельной семье профессора медицины. В пятилетнем возрасте он серьезно заболел дифтерией и несколько месяцев совершенно не мог говорить; мальчик полностью выздоровел, но все детство был физически слабым. Уже взрослого один студент описывал его так: «Прежде всего я вспоминаю его глаза^[74]: близорукие, но яркие и проницательные. В остальном в памяти хранится образ невысокого сутулого мужчины с неуклюжими движениями туловища и конечностей». Когда Пуанкаре был подростком, немцы захватили Эльзас и Лотарингию, хотя Нанси остался под властью Франции. Неожиданное и абсолютное поражение во Франко-прусской войне стало национальной трагедией; Франция не только решила вернуть утраченные территории, но и стала воспроизводить ту бюрократическую эффективность и технологическую компетентность, которую сочла причиной военного превосходства Германии. Подобно тому как запуск советского спутника привел к волне финансирования научного образования в Соединенных Штатах в конце 1950-х годов, утрата Эльзаса^[75] и Лотарингии побудила Францию догнать Германию с ее лучше организованными научными учреждениями. Пуанкаре, который изучил немецкий язык во время оккупации, принадлежал к новому авангарду французских математиков, получивших современную подготовку и превративших Париж в один из математических центров мира с лидером в лице Пуанкаре.

Пуанкаре был выдающимся студентом, но не вундеркиндом: его первая серьезная работа появилась, когда ему было около 25 лет, а всемирно известной фигурой он стал только в конце 1880-х годов. В 1889 году он получил^[76] премию шведского короля Оскара за лучшее эссе по задаче трех тел, в которой требуется определить положение трех небесных тел, двигающихся под действием гравитации. Эта задача не до конца понята и в XXI веке, однако в своей статье Пуанкаре заложил основы теории динамических систем — метода, используемого современными математиками для изучения как задачи трех тел, как и тысяч других проблем.

Пуанкаре отличался редкой пунктуальностью^[77] и работал над математическими проблемами ровно четыре часа в день — с десяти утра до полудня и с пяти до семи вечера. Он верил в крайнюю важность интуиции и бессознательной работы, однако его карьера была в каком-то смысле очень методичной: ее характеризовали не столько яркие моменты озарения, сколько систематическое и неуклонное расширение царства познаваемого на территории тьмы по четыре часа в будни и никогда — по выходным. С другой стороны, у Пуанкаре, как известно, был ужасный почерк, а поскольку он одинаково владел обеими руками, в Париже ходила шутка^[78], что Пуанкаре может писать одинаково хорошо, то есть одинаково плохо, любой рукой.

Он был не только самым выдающимся математиком своего времени^[79], но и популяризатором науки для широкой публики: его книги, рассказывающие о таких модных темах, как неевклидова геометрия, радий или новые теории бесконечности, расходились десятками тысяч экземпляров и были переведены на английский, немецкий, испанский, венгерский и японский языки. Он был мастером слова с особым талантом выражать математическую идею в каком-нибудь тонком изречении. Вот одно из них, весьма подходящее для стоящей перед нами задачи:

Геометрия — это искусство делать хорошие выводы из плохих чертежей^[80].

Иными словами, если мы с вами собираемся поговорить об окружности, мне нужно, чтобы нам было на что смотреть, поэтому я беру лист бумаги и рисую ее.

Если у вас педантичное настроение, вы можете возразить, что это не окружность; возможно, у вас есть линейка и вы проверяете, что расстояние от предполагаемого центра до каждой точки предполагаемой окружности вовсе не одинаково. Ладно, соглашаюсь я, но, когда мы говорим о числе дырок в круге, это неважно. В этом отношении я следую примеру самого Пуанкаре, который — в соответствии со своим изречением и своим ужасным почерком — рисовал фигуры отвратительно. Его ученик Тобиас Данциг вспоминал: «Окружности, которые он рисовал^[81] на доске, были чисто формальными, они напоминали настоящие только тем, что были замкнутыми и выпуклыми»^[82].

Для Пуанкаре и для нас все это — окружности.

Даже квадрат — это окружность!^[83]

И эта дурацкая загогулина — тоже^[84].

Но вот это не окружность,

потому что в ней есть разрыв. Разорвав окружность, я совершил нечто более необратимо жестокое, нежели сминание, сгибание и даже загибание углов. Я действительно изменил ее форму, превратив в плохо начерченный отрезок вместо плохо начерченной окружности, и перешел от объекта с дырой внутри к объекту без дыры.

Вопрос об отверстиях в соломинке кажется топологическим вопросом. Нужно ли двум математикам знать точные размеры соломинки, действительно ли она прямая и представляет ли ее поперечное сечение идеальный круг, который одобрил бы Евклид? Конечно же, нет. На каком-то уровне они понимают, что от этих вещей при достижении их целей можно спокойно отказаться.

Но что останется, когда вы от них откажетесь? Пуанкаре советует нам взять соломинку и укорачивать, укорачивать и укорачивать ее. Однако для него это все та же соломинка. Очень скоро она превратится в узкую полоску пластика.

Можно пойти дальше и разогнуть стенки наружу, чтобы получилась плоская фигура на странице книги.

Официальное геометрическое название такой фигуры, заключенной между двумя окружностями, — кольцо, хотя вы можете считать это грампластинкой, или летающим кольцом Aerobie, или чакрамом — индийским метательным оружием XVII века с острым, как бритва, внешним краем. Как бы вы его ни назвали, это все равно плохо нарисованная соломинка и у нее всего одно отверстие.

Если топология настаивает, что в соломинке всего одно отверстие, то что она говорит насчет штанов? Мы можем укоротить их, как делали с соломинкой. Сначала они станут шортами, а потом и стрингами. Когда я разложу стринги на странице книги, которую вы читаете, вы увидите двойное кольцо,

в котором явно два отверстия. Итак, мы пришли сейчас к заключению, что у соломинки одно отверстие, а у штанов — два.

ШТАНЫ НЁТЕР

Но проблемы еще не закончились. Если в штанах два отверстия, то какие? При вышеописанном процессе укорачивания это штанины, а талия становится внешним краем. Но вы могли заметить, складывая белье, что с равным успехом можете сделать стринги по-другому, когда одна «штанина» станет внешним краем, а вторая «штанина» и талия будут двумя дырками.

Моя дочь, вовсе не знакомая с работами Пуанкаре, сказала, что штаны имеют два отверстия, аргументируя это тем, что отверстие в пояснице — это комбинация отверстий в ногах. Она права! И лучший способ это понять — серьезно воспринять аналогию между штанами и соломинкой. Попробуйте представить соломинку, через которую пьете солодовый молочный коктейль, в виде штанов. Вы можете окунуть одну штанину в бокал и тянуть напиток: через штанину заходит, а через талию выходит к вам в рот одно и то же количество жидкости. Вы можете сделать то же самое с другой штаниной, а можете опустить в коктейль обе. Но что бы вы ни делали, по закону сохранения молочного коктейля его количество, выходящее из талии, равно сумме количеств, поступающих через штанины. Если в левую штанину поступает 3 миллилитра коктейля в секунду, а в правую — 5 миллилитров в секунду, то сверху вытечет 8 миллилитров напитка^[85]. Вот почему моя дочь права, сказав, что отверстие для талии — на самом деле не новое отверстие, а комбинация двух отверстий для ног.

Так значит ли это, что отверстия для ног — настоящие дырки? Не торопитесь. Всего секунду назад, складывая только что постиранные стринги, мы считали, что никакой разницы между «штанинами» и талией нет. Однако сейчас, похоже, талия снова играет особую роль: 3 + 5 = 8, но не 5 + 8 = 3 или 8 + 3 = 5.

Тут требуется аккуратность в отношении положительных и отрицательных чисел. Выходящий поток противоположен входящему, поэтому нужно брать его с обратным знаком: вместо того чтобы говорить, что 8 миллилитров вытекают через талию соломинки, мы скажем, что втекают — 8 миллилитров! И теперь у нас есть красивое симметричное описание: сумма потоков через три входа равна нулю. Чтобы описать полную картину протекания коктейля через штаны, я просто должен назвать два числа из трех, причем неважно, какие именно два. Подойдет любая пара.

Теперь мы готовы исправить ту ложь, что сказали ранее. Должен признать, не совсем верно говорить, что отверстие вверху соломинки (настоящей соломинки) — это то же самое отверстие, что и внизу. Но оно и не абсолютно новое. Отверстие вверху — это негатив отверстия внизу. То, что втекает в одно, должно вытекать из другого.

Математики и до Пуанкаре (особенно тосканский геометр и политик Энрико Бетти) боролись с вопросом, как задать форму нескольким отверстиям, однако именно Пуанкаре первым понял, что одни отверстия могут быть комбинациями других. Но даже он не думал об отверстиях так, как нынешние ученые; для этого пришлось ждать работу немецкого математика Эмми Нётер в середине 1920-х. Нётер ввела в топологию понятие группы гомологий, и с тех пор мы используем именно такое понимание отверстий.

Нётер выражала свои идеи на языке «цепных комплексов» и «гомоморфизмов», а не штанов и молочных коктейлей, но я буду придерживаться наших нынешних понятий, чтобы избежать болезненного стилистического перехода. Новаторство Нётер заключалось в том^[86], что неправильно думать о дырах как о дискретных объектах, скорее это похоже на направления в пространстве.

Сколько направлений вы можете проложить на карте? В каком-то смысле вы можете двигаться в бесконечном множестве направлений: на север, юг, восток, запад; на юго-запад или северо-северо-восток; держать курс точно на 43,28 градуса к востоку от южного направления. Однако суть в том, что при всем богатстве выбора есть только два основных направления, в которых вы можете путешествовать: вы доберетесь куда угодно, комбинируя всего два направления — на север и на восток (если будете считать 10-мильное путешествие на запад отрицательным 10-мильным путешествием на восток).

Однако нет смысла спрашивать, какие два направления будут основными, из которых следуют все остальные. Любая пара ничем не хуже другой; можно выбрать север и восток, юг и запад, северо-запад и северо-северо-восток. Единственное, что вы не можете сделать, так это выбрать два совпадающих или противоположных направления, поскольку тогда вам придется ограничиться движением по одной линии.

Верх и низ соломинки — полные противоположности, север и юг. Здесь можно обнаружить только одно измерение. Талия и штанины, напротив, заполняют два измерения, например:

Проехав в одном из этих направлений, затем во втором, затем в третьем, вы вернетесь в исходную точку.

Три направления аннулируют друг друга, давая в сочетании ноль.

«Сегодня это считается самоочевидным^[87], — писали Павел Александров и Хайнц Хопф в своем фундаментальном труде по топологии 1935 года, — однако восемь лет назад это было не так. Потребовалась энергия и индивидуальность Эмми Нётер, чтобы сделать это знание обычным для топологов. Благодаря ей оно стало играть современную роль в задачах и методах топологии».

«СЕГОДНЯ НИКТО НЕ СОМНЕВАЕТСЯ, ЧТО ГЕОМЕТРИЯ N ИЗМЕРЕНИЙ — РЕАЛЬНАЯ ВЕЩЬ»

Пуанкаре создал современную топологию, однако он ее так не называл, а использовал более громоздкий термин analysis situs («анализ места»). Хорошо, что он не прижился! На самом деле слово «топология» на шестьдесят лет старше, а придумал его Иоганн Бенедикт Листинг — ученый-универсал, который также изобрел слово «микрон» для обозначения миллионной доли метра, внес важный вклад в физиологию зрения, занимался геологией и изучал содержание сахара в моче больных диабетом. Он ездил по миру, измеряя магнитное поле планеты с помощью магнитометра, изобретенного его учителем Карлом Фридрихом Гауссом. Он был компанейским и доброжелательным человеком (возможно, даже слишком компанейским), пытаясь избавиться от своего долга. Физик Эрнст Брайтенбергер назвал его «одним из многих второстепенных универсалов, которые придавали колорит истории науки XIX столетия»^[88].

Летом 1834 года Листинг сопровождал своего состоятельного друга Вольфганга Сарториуса фон Вальтерсхаузена в поездке к вулкану Этна на Сицилии, а в свободное время, когда вулкан спал, размышлял о формах и их свойствах и придумал термин «топология». У него не было такого систематического подхода, как у Пуанкаре или Нётер: в топологии, как и в других областях науки, и в жизни, он был чем-то вроде сороки, летящей туда, куда ее влекли интересы. Он оставил множество изображений узлов и нарисовал ленту Мёбиуса до Августа Фердинанда Мёбиуса^[89] (хотя нет никаких подтверждений, что Листинг, как Мёбиус, понял ее любопытное свойство — наличие только одной стороны). В конце жизни он создал масштабный труд «Перепись пространственных форм», собрав в нем все формы, какие смог придумать. Он был своего рода геометрическим Одюбоном, каталогизирующим богатство разнообразия природы^[90].

Есть ли причины выходить за рамки списка Листинга? Споры о количестве отверстий в соломинке занятны, но что делает их важнее, чем, скажем, обсуждение числа ангелов, которые могут поместиться на булавочной головке?

Ответ вы можете найти в самом первом предложении статьи Analysis Situs, которая начинается так:

Сегодня никто не сомневается^[91], что геометрия n измерений — реальная вещь.

Представить себе соломинку и штаны легко, и нам не нужен формальный математический аппарат, чтобы их различать. Формы в пространствах более высоких измерений — дело другое. Наш внутренний глаз бессилен их увидеть. А мы хотим не только их рассмотреть, но и внимательно изучить. Как мы увидим, в геометрии машинного обучения мы будем искать пространство с сотнями или тысячами измерений, пытаясь найти самый высокий пик в этом невизуализируемом ландшафте. Уже в XIX веке Пуанкаре, изучая задачу трех тел, должен был отслеживать местоположение и движение материальных объектов в небе; а это означало запись для каждого небесного тела трех координат для положения и трех — для скорости^[92], то есть всего шесть измерений. Поскольку у него было три движущихся тела одновременно и для каждого требовалось шесть измерений, то всего получалось восемнадцать измерений. Никакой рисунок на странице не поможет вам понять, сколько отверстий в восемнадцатимерной соломинке, не говоря уже о том, чтобы отличить ее от восемнадцатимерных штанов. Необходим новый формальный язык, который с неизбежностью будет отделен от наших внутренних представлений о том, что считать отверстием. Так всегда работает геометрия: мы начинаем с интуитивных представлений о формах физического мира (а с чего еще мы могли бы начать?), внимательно анализируем наше восприятие того, как эти формы выглядят и двигаются, — с достаточной точностью, чтобы мы могли говорить о них, не опираясь на интуицию. Потому что при выходе из мелководья трехмерного пространства, к которому привыкли, такая надобность у нас появится.

И мы уже можем видеть начало такого процесса. Остался один тревожный пример из нашего обсуждения, к которому мы готовы вернуться только сейчас. Помните воздушный шарик? В нем нет дырки. Вы протыкаете в нем дырку, раздается хлопок, и теперь перед вами резиновый диск. Очевидно, что дыры в нем нет. Но разве мы ее не сделали только что?

Вот один из способов разобраться в таком явном парадоксе. Если вы проделали в шарике отверстие и в результате в нем отверстий не оказалось, значит, изначально в нем должно быть — 1 отверстие.

Мы стоим на развилке — в точке принятия решения. Можно отбросить либо весьма привлекательную идею, что добавление дырки в предмете увеличивает количество дырок на единицу, либо весьма привлекательную идею, что отрицательное число отверстий — полная чушь. История математики богата на подобные болезненные решения. Обе идеи интуитивно понятны, но при тщательном рассмотрении мы обнаруживаем, что они логически несовместимы. От одной надо отказаться^[93].

Не существует абстрактной истины, сколько дыр в воздушном шаре, соломинке или штанах. Когда мы подходим к развилке, которую преподносит нам математика, нам нужно выбрать какое-то определение. Не следует считать, что один путь ложный, а другой истинный; нужно думать, что один путь лучше, а другой хуже. Лучше тот, который объяснит и прольет свет на большее количество случаев. За многие столетия математики обнаружили, что обычно лучше принять то, что кажется странным (как отрицательное число дырок), чем то, что нарушает какой-то общий принцип (например, что проделывание дырки в объекте должно увеличивать число дырок в нем на единицу). Так что я водружаю свой флаг тут: предпочтительнее сказать, что нелопнувший шарик имеет — 1 отверстие. На деле существует способ характеризации пространств под названием эйлерова характеристика; она представляет собой топологический инвариант, то есть не меняется при различных непрерывных деформациях. Вы можете считать, что этот параметр равен единице минус число отверстий.

Штаны: эйлерова характеристика — 1, два отверстия.

Соломинка: эйлерова характеристика 0, одно отверстие.

Лопнувший воздушный шарик: эйлерова характеристика 1, ноль отверстий.

Нелопнувший воздушный шарик: эйлерова характеристика 2, — 1 отверстие.

Способ описать эйлерову характеристику, чтобы она казалась менее странной, — это разность между двумя величинами: числом отверстий четной и нечетной размерности. В целом воздушном шарике, то есть в сфере, дыра есть — в том же смысле, что и дыра внутри куска швейцарского сыра: внутренняя часть шарика — дыра сама по себе. Однако ощущается, что это дыра иного рода, нежели в соломинке. Верно! Это то, что мы назвали бы двумерной дырой. Шарик имеет одну двумерную дыру и ни одной одномерной. Может показаться, что тогда эйлерова характеристика должна быть 1–1 = 0, что не соответствует нашей таблице. Мы упустили, что шарик имеет еще и нульмерное отверстие.

Что это может значить?

Вот тут и вступает в игру теория Пуанкаре и Нётер. Как следует из названия, эйлерову характеристику системно изучал швейцарский математик-универсал Леонард Эйлер, однако он рассматривал только двумерные поверхности. Многие люди, включая Иоганна Листинга, пытались распространить идеи Эйлера на трехмерный случай. Но только после Пуанкаре ученые поняли, как перенести результат Эйлера в пространства размерности более трех. Я не стану запихивать на одну страницу первый курс алгебраической топологии, а просто скажу, что Пуанкаре и Нётер дали общую теорию дыр любой размерности, и в их системе количество нульмерных отверстий в каком-то пространстве — это просто число частей, на которое оно разбивается. Шарик, как и соломинка, представляет собой единый объект, поэтому у него только одно отверстие нулевой размерности. А вот два шарика имеют два нульмерных отверстия.

Это определение может показаться странным, но с ним все работает. Шарик имеет:

1 нульмерное отверстие + 1 двумерное отверстие — 0 одномерных отверстий,

что дает нам эйлерову характеристику, равную 2.

В прописной букве В одно нульмерное отверстие и два одномерных, поэтому ее эйлерова характеристика равна — 1^[94]. Разрежьте нижнюю петлю буквы B — и получите букву R, у которой эйлерова характеристика равна 0: у буквы R на одно одномерное отверстие меньше, поэтому число увеличилось на 1. Разрезав петлю буквы R, получите букву K: ее эйлерова характеристика равна 1. Вы могли бы также отрезать ножку у буквы R, получив две буквы P и I; теперь у вас два отдельных куска, поэтому два нульмерных отверстия и одно одномерное в букве P дают 2–1 = 1. Каждый раз, когда вы делаете разрез, вы увеличиваете эйлерову характеристику на 1, и это верно, даже если вы своим разрезом не устраняете одномерную дыру. У буквы I эйлерова характеристика равна 1; разрежьте ее — и получите две буквы I с эйлеровой характеристикой 2. Следующий разрез даст три I и характеристику 3 и так далее.

Что, если вы сошьете вместе нижние отверстия штанов? Не стану вдаваться в подробности, но получившаяся форма в системе Пуанкаре имеет одну нульмерную и две одномерные дыры, что дает эйлерову характеристику — 1. Иными словами, в штанах после нашего вандализма столько же отверстий, сколько было и до него. Вы избавились от одного, сшив отверстия у лодыжек, но создали новое, которое теперь находится между штанинами. Убедительно? С удовольствием посмотрел бы на такое рассуждение в Snapchat!^[95]

Примечания

69

Появился в статье 1970 года: David Lewis and Stephanie Lewis, “Holes,” Australasian Journal of Philosophy 48, no. 2 (1970): 206–12.

70

Затем этот вопрос всплыл в 2014 году: https://forum.bodybuilding.com/showthread.php?t162056763&page=1.

71

Затем появился ролик: этот видеоролик был скопирован на многих сайтах, например metro.co.uk/2017/11/17/how-many-holes-does-a-straw-have-debate-drives-internet-insane-7088560/.

72

Сняла видео, которое: www.youtube.com/watch?v=W0tYRVQvKbM.

73

Нет, вы раскатываете: честно говоря, среди изготовителей бубликов есть и те, кто делает змейку и соединяет ее в кольцо, и те, кто делает круглую лепешку и пробивает отверстие в середине. Однако никто из них не делает дырку в уже готовом выпеченном хлебе без дырок.

74

Прежде всего я вспоминаю его глаза: Galina Weinstein, “A Biography of Henri Poincaré–2012 Centenary of the Death of Poincaré,” ArXiv preprint server, July 3, 2012, 6; https://arxiv.org/pdf/1207.0759.pdf.

75

Утрата Эльзаса: Gray, Henri Poincaré, 18–19.

76

В 1889 году он получил: June Barrow-Green, “Oscar II’s Prize Competition and the Error in Poincaré’s Memoir on the Three Body Problem,” Archive for History of Exact Sciences 48, no. 2 (1994): 107–31.

77

Пуанкаре отличался редкой пунктуальностью: Weinstein, “A Biography of Henri Poincaré,” 20.

78

В Париже ходила шутка: Tobias Dantzig, Henri Poincaré: Critic of Crisis (New York: Charles Scribner’s Sons, 1954), 3.

79

Он был не только: Gray, Henri Poincaré, 67.

80

Геометрия — это искусство: “La Géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites.” Henri Poincaré, “Analysis situs,” Journal de l’École Polytechnique ser. 2, no. 1 (1895): 2.

81

Окружности, которые он рисовал: Dantzig, Henri Poincaré, 3.

82

Термин «выпуклый» означает примерно «выгибающийся только наружу, а не внутрь». Подробнее об этом — в главе 14, где мы встретимся с еще более вычурными формами избирательных округов.

83

Точнее, так: квадрат — это окружность, если нас интересуют топологические вопросы, например: сколько отверстий в фигурах, которые они ограничивают, или на сколько частей распадаются такие фигуры. Если же вас волнуют вопросы вроде «сколько касательных можно провести к кривой в одной точке», то квадрат и окружность сильно отличаются.

84

Хотя эта фигура не является всюду выпуклой. Прим. науч. ред. [Научный редактор всегда должен быть в педантичном настроении. Прим. науч. ред.]

85

Нет, я не знаю, как вы умудряетесь пить коктейль, чтобы через одну соломинку проходило в 1²/₃ раза больше жидкости, чем через другую. Но вы уже подарили мне соломинку в форме штанов, так что с равным успехом можете продолжать этот мысленный эксперимент.

86

Новаторство Нётер: ради справедливости по отношению к Пуанкаре отметим, что Леопольд Вьеторис, работавший на заре топологии и скончавшийся в 2002 году в возрасте 110 лет, указывал, что Пуанкаре понимал, что штаны образуют пространство, но не выразил это в своей работе. Я предпочитаю действия Нётер. (Saunders Mac Lane, “Topology Becomes Algebraic with Vietoris and Noether,” Journal of Pure and Applied Algebra 39 (1986): 305–07.) Сам Вьеторис независимо от Нётер и примерно в то же самое время формализовал это же понятие, однако в те дни математические результаты Вены не сразу становились известны в Геттингене, и наоборот.

87

Сегодня это считается самоочевидным: “Diese Tendenz scheint heute selbstverstandlich; sie war es vor acht Jahren nicht; es bedurfte der Energie und des Temperamentes von Emmy Noether, um sie zum Allgemeingut der Topologen zu machen und sie in der Topologie, ihren Fragestellungen und ihren Methoden, diejenige Rolle spielen zu lassen, die sie heute spielt.” Paul Alexandroff and Heinz Hopf, Topologie I: Erster Band. Grundbegriffe der Mengentheoretischen Topologie Topologie der Komplexe Topologische Invarianzsätze und Anschliessende Begriffsbildungen Verschlingungen im n-Dimensionalen Euklidischen Raum Stetige Abbildungen von Polyedern (Berlin: Springer-Verlag, 1935), ix. Благодарю Андреаса Зигера за помощь в переводе этого абзаца.

88

Одним из многих: биографический материал о Листинге взят из книги Ernst Breitenberger, “Johann Benedikt Listing,” History of Topology, ed. I. M. James (Amsterdam: North-Holland, 1999), 909–24.

89

Листинг открыл эту поверхность в июле 1858 года, а Мёбиус — в сентябре 1858-го. Прим. пер.

90

Джон Джеймс Одюбон — американский натуралист и художник, стремившийся изобразить всех птиц Америки. Прим. пер.

91

Сегодня никто не сомневается: Poincaré, “Analysis situs,” 1.

92

Для физика скорость означает не только численное значение, но и направление; вам требуется отслеживать скорость перемещения в направлении на север, восток и вверх, то есть всего три величины.

93

Сравните это с ситуацией с Джефферсоном. Он был одним из самых ярых сторонников идей свободы и равенства, которые вдохновляли революцию, но одновременно всю жизнь использовал рабский труд, несмотря на словесное неприятие, и сомневался, что чернокожий человек «способен проследить и понять исследования Евклида». Хотя он и любил Евклида, он никогда не мог прямо взглянуть на это противоречие.

94

Это минимальная эйлерова характеристика для символов на вашей клавиатуре, если только у вас нет знака доллара, перечеркнутого двумя чертами (его эйлерова характеристика — 3), или символа командной клавиши на клавиатуре Apple (⌘), для которого она равна — 4. Максимальная эйлерова характеристика на клавиатуре равна 2 для символов вроде! у которых два нульмерных отверстия и нет никаких других.

95

Snapchat — мобильное приложение обмена сообщениями с прикрепленными фото и видео. Прим. ред.