Пушистые логарифмы

Андрей Анатольевич Сафонов

Он провел меня через сквозной подъезд школы на каменное крыльцо с античными колоннами. С крыльца открывался вид на поле, где паслись странные пушистые существа, похожие на каких-то инопланетных овец.– Вот они, наши логарифмы.– Логарифмы???– Да, показатели, чтобы при возведении в них нижний становился верхним. Тот, что есть, превращался в того, кем должен стать. Приглядись – тут сокрыто много тайн.

Я всматриваюсь в вас, о числа…

Кажется, еще секунду назад меня не было, и вдруг я очнулся в старом немецком доме недалеко от теряющегося в мифической дали озера. Что на самом деле было «до», теряется в непроглядной ночи сознания — на улице, «где был я, когда меня не было». И — вспышка: я есть, я мыслю и за пределами этого «я» не знаю ничего. Оно точка отсчета, вокруг которой начинает выстраиваться моя система координат.

Вот заходит папа — мощный, как восходящее солнце, словно огромная энергия переливается в меня из него.

Постепенно из хаоса впечатлений начинают выстраиваться время и пространство.

С одной стороны нашего дома — парадный выход, ведущий к озеру, с другой — двор, маленький космос, отгороженный от остального мира заборами, сараями и кустами шиповника.

По маленькому космосу гуляют соседи, я постепенно запоминаю их имена: бабуля Прохоровна, дядя Вася, дядя Витя, дядя Сережа, тетя Оля… Они оживленно и весело что-то обсуждают и один за другим растворяются в воздухе, как призраки, ибо их давно уже нет.

Из глубины двора раздаются стуки молотка и жужжание сварочного аппарата. Я сбегаю по деревянным ступеням, чтобы узнать, что происходит. А там, словно вышедший из недр земли огненный человек, разбрасывающий вокруг себя фонтаны искр, мой солнечный папа ловко и умело возводит огромный красный сарай — самый высокий и мощный во дворе.

Если, выйдя через внутренний вход, повернуть направо, а потом еще раз направо, то окажешься в нашем саду. Там цветут яблони, вишни, а в августе розовые, как закат, сливы падают на деревянный стол. Стол крепится на железной трубе. Я зачарованно всматриваюсь туда и представляю, что она уходит на тысячи километров вниз, к центру земли.

В конце сада кусты смородины образовали настоящий лабиринт, откуда я легко попадал в дебри Африки и Южной Америки.

Однажды мы нашли в саду с папой маленького котенка, назвали Барсиком, построили ему шикарное жилище под сливой и стали приглашать домой.

Тот потерянный навсегда май отодвигается, словно штора, за которой зима. Я стучу из расписанного морозными фракталами окна на втором этаже, Барсик стремительно несется от красного сарая и через считаные секунды царапается в дверь.

Снимается еще одна завеса в памяти, и вот предрассветный поезд, вторя ударам сердца, движется в сторону моря… Мне уже 15, и рядом отец, усталый, как солнце, которое вот-вот нырнет во мрак.

Через год, словно таинственный ковчег, гроб уходит под землю и папа отправляется в свое самое далекое плавание.

Воспоминания так близко, будто это все еще где-то происходит. Будто мы были главными героями длинного и прекрасного фильма, но он оборвался, не успев завязаться. Мы даже не успели поговорить по душам… Иногда мне снится, что та смерть произошла по ошибке, и он возвращается, но уже не тот — поддельный…

И вот я уже сам папа… Только теперь, глядя на сына, я начинаю понимать, что за энергия вливалась в меня из отца. И уже новое солнце восходит в моей груди… Неужели и это пройдет так быстро? Однажды и мне нужно будет отправиться в путешествие на своем ковчеге, но как можно жить, думая, что оттуда никто не возвращается и всем предстоит разлучиться навсегда?

Поднимается бунт, безумный протест — против увядающего шиповника, ржавеющего сарая, исчезновения Барсика, второго закона термодинамики, против узости т. н. научной картины мира, против тупого ржания за спиной и нелепой серьезности в двух шагах от пропасти.

И самое главное: как смеет смерть накладывать свои грязные лапы на то, что так дорого, от чего так сжимается все внутри? На то, что по своей природе должно быть всегда?

Воды Леты¹ растворяют все на своем пути. Тот, кто хлебнул их, видит почки как увядающие листья, обгоревшие развалины на месте новой квартиры и лик старика за улыбкой младенца.

Я закрываю глаза и, подобно поэту Велимиру Хлебникову, «всматриваюсь в вас, о числа». Четные, нечетные, квадратные, треугольные, простые, составные, совершенные…. Вы сурово молчите, и все же в вас есть то, что так нужно мне… Лангольеры суеты и энтропии сжирают наши тела, эпохи и галактики, но вы возвышаетесь над пространством и временем, как вечные сияющие маяки. Вы — словно рукопись из бутылки, дающая надежду, что уплывшие за горизонт забвения однажды вернутся домой.

Машина из времени

Осталось полумифическое воспоминание: мне около пяти, собираемся с папой в поход, по радио играет «Выходим к великой реке» «Машины времени», под ногами крутится кот Барсик, движемся вдоль багратионовского озера Лангер в сторону польской границы. И вот уже давно нет ни папы, ни Барсика, а я по-прежнему решаю это неравенство: любовь> время + смерть => должна быть машина, но не времени, а скорее, из времени.

***

Я помню, гуляли с отцом вдоль великой реки,

Там ветер шумит в камышах и шаги так легки,

Но что-то осталось мне в этом дне навсегда.

Как странно, что к берегу детства не видно моста.

Но снова гляжу я на рождение солнца,

И кажется, смерть твоя — только лишь сон.

Проснусь и увижу вновь старенький шкаф,

Там есть коридор в бесконечность — я был все-таки прав!

Крутое сварив яйцо, соберемся в поход.

И Барсик нас провожает — сказочный кот!

Движимые вечностью — смерть, держись, идем навстречу мы!

Движимые вечностью, смерть, держись, идем навстречу мы!

Навстречу заре мы пойдем на восток.

Шуршит под ногами прибрежный песок.

Здесь каждый оставить должен собственный след.

И Барсик нас провожает, но его уже нет.

И счастье так близко — попробуй поймай!

Но не купишь билетик на потерянный май.

Тот день остается далеко за спиной,

Но память об этом навеки со мной!

Она в моем сердце, словно сказочный храм!

Я знаю, однажды найду тебя там.

Есть дом у истока великой реки.

Там ветер шумит в камышах и шаги так легки.

И там завершится наш детский поход.

И Барсик нас встретит, сказочный кот.

Натуральные числа: кромешная скука или вестники другого мира?

Если кто не помнит, ряд чисел 1, 2, 3, 4,…, 12,… и так до бесконечности называется натуральным. Как говорится в школьных учебниках, это числа, которые мы используем при счете. И на первый взгляд кажется, что в них нет ничего особенного. Считать предметы мы научились с самых ранних лет.

Однако, как ни странно, натуральный ряд — одна из самых таинственных вещей, с которыми нам когда-либо приходилось сталкиваться. Сложности возникают уже при вопросе: откуда они появились?

Есть разные теории, пытающиеся ответить на это.

Сторонники эмпирического подхода считают, что числа возникают из непосредственного опыта, который дают нам органы чувств подобно тому, как из него возникают физические или химические законы. Но тут возникает проблема: если физические объекты и вещества мы видим и ощущаем, то самих чисел видеть не можем. Мы можем видеть 5 кружек, но само число 5 находится только в нашей голове. Нигде в природе мы не найдем и законов арифметики и алгебры — мы можем найти их только в своих мыслях.

Другой, лингвистический, подход утверждает, что числа — искусственный язык, придуманный человеком для описания действительности. Подобно тому, как мы используем слово «синий» для описания определенного цвета, мы используем слово «пять» для описания пяти кружек. Но здесь также возникают сложности: если мы придумываем язык, мы сами задаем его законы и можем быть уверенными, что не сделаем там неожиданных открытий.

Было бы странно, если бы учительница русского языка с удивлением обнаружила, что слово «жил» пишется на самом деле через «ы». Филологи заранее знают, что получат на выходе. Чего нельзя сказать о математиках. К примеру, в 1637 г. математик Ферма записал интересную формулу о соотношении чисел, доказать которую удалось только в конце двадцатого века. Смысл в том, что математики используют числовой ряд, но не знают всех его закономерностей. Они открывают там новые теоремы и формулы подобно тому, как географы открывали новые земли.

И здесь мы приходим к третьему и, пожалуй, самому популярному среди самих математиков направлению — математическому платонизму. Суть этого подхода в том, что числа рассматриваются как отдельная независимая от физического мира реальность, некая «матрица», из которой возникает материальная вселенная². К подобному выводу можно прийти путем примерно таких рассуждений: в материальном мире нет ничего вечного: с деревьев падают листья, гниют яблоки, стареют люди, империи, галактики, в то время как числовые закономерности существовали и будут существовать всегда.

Как некую альтернативу платонизму можно рассматривать математический логицизм. Он объясняет вечность чисел тем, что законы арифметики целиком сводятся не к метафизике, а к законам формальной логики, а последние не обладают содержанием, а являются лишь формой мышления³. Но тут возникает нечто очень странное. Мы выводим числовой ряд путем однообразного алгоритма прибавления единицы — однако получаем в результате удивительное полотно с математическими узорами, которые никак не вяжутся с формально-логическими тавтологиями. К примеру, есть такие числа, как 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…, их называют простыми. Они делятся только на себя и на единицу. И вот оказывается, что простые числа набросаны во множестве натуральных без всякой логики, словно полезные ископаемые или семена диковинных растений. Откуда они появились в человеческом разуме, до сих пор остается загадкой.

Напрашивается удивительный вывод: наше мышление имеет доступ к информации, которую невозможно получить через органы чувств или вывести чисто логически. Возникают вопросы: каковы же тогда возможности нашего интеллекта и каков источник этого знания?

Натуральные числа — лазейка в интеллектуальный лабиринт, ведущий в глубочайшие тайники человеческого мышления и, по-видимому, самой реальности.

Скатерть улама, или как найти бездну в собственном разуме

В 6-м классе школьники, как правило, знакомятся с простыми числами. Для тех, кто забыл, напоминаем: натуральными мы называем числа, которые используем для счета предметов: 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12, 13, 14… и так до бесконечности. Соответственно, все, что не входит в это множество, натуральными числами не является — например, отрицательные числа или дроби.

Простыми мы называем все натуральные числа, которые делятся только на себя и на единицу: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д. Все остальные числа называются составными. Например, 12 = 3 * 2 * 2, т. е. число 12 разбивается на три простых множителя. Аналогично каждое составное число можно «построить» из простых, как из неких первичных кирпичиков. 15 = 3 * 5, 36 = 2 * 2 * 3 * 3 и т. д.

Вроде бы и правда все очень просто.

Однако на деле простые числа оказываются не такими уж простыми. Главная их тайна состоит в том, что за всю историю человечества еще никому не удалось найти закон, по которому они распределены во множестве натуральных чисел. Если, к примеру, все четные числа можно легко задать формулой x = 2 * n, а квадраты — x = n ^ 2, то для простых чисел нет не то что простой формулы, а вообще никакой. Простые числа набросаны во множестве натуральных по какой-то своей непостижимой логике — словно драгоценные камни в земной коре или звезды на небе.

Попытки разгадать логику их расположения предпринимались неоднократно, но дело не шло дальше нахождения отдельных островков, подчиняющихся своим локальным законам. Например, Эйлер нашел многочлен x2 — x +41 при подстановке вместо x чисел от 1 до 40 дающий только простые числа. Впоследствии было найдено множество других аналогичных формул.

И тем не менее было непонятно, является ли наличие подобных скоплений проявлением некой глубинной закономерности или простой случайностью.

Скопления простых чисел можно сравнить с зарослями деревьев, причудливо раскиданных по земле, но однажды кое-кому открылось то, что можно назвать видом с высоты на эти заросли.

В 1963 г. американско-польский математик Станислав Улам присутствовал на одном чрезвычайно скучном научном докладе. От нечего делать он начал записывать натуральные числа спиралью, как показано на рисунке. И вдруг обнаружил нечто такое, что потрясает воображение любого математика: оказалось, что простые числа распределяются на этом рисунке по ровным диагональным, вертикальным и горизонтальным отрезкам. Отрезки эти разной длины, находятся в разных местах, и тем не менее обнаруженная закономерность продолжается на всем множестве чисел. Сколь долго бы мы не продолжали спираль Улама, простые числа будут послушно группироваться в отрезки, и, как оказалось, каждый такой отрезок соответствует какому-то квадратному многочлену наподобие тех, что открыл Эйлер. Простые числа выстраиваются как молнии, переплетаются как неведомые коды и иероглифы из миров, лежащих за пределами человеческого опыта. Откуда они там появились? Почему, монотонно прибавляя единицу, мы получаем эти загадочные структуры, объективные для всех, но существующие только в нашем сознании? Простые числа показывают нам, что для соприкосновения с бездной необязательно лететь в далекие галактики или расщеплять частицы. Мы можем уютно расположиться в кресле и найти эту бездну в нашем собственном разуме.

Простая тайна двадцати четырех

«И вокруг престола двадцать четыре престола; а на престолах видел я сидевших двадцать четыре старца, которые облечены были в белые одежды и имели на головах своих золотые венцы». (Откровение от Иоанна 4:4).

24 старца из «Апокалипсиса», 24 часа в сутках, факториал четырех, удвоенная дюжина…

Какие еще тайны скрывает 24?

К примеру, вот такую:

Мы помним, как причудливо раскиданы простые числа во множестве натуральных: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23…

Величайшие математики мира смогли выявить формулы лишь для отдельных небольших островков простых чисел. Но удивительное дело: если мы возведем в квадрат любое простое число начиная с пяти и вычтем из него единицу, то полученный результат будет всегда делиться на 24.

Не на 25, не на 26, не на 27 и т. д., а всегда на 24.

К примеру, пять в квадрате минус один равно 24 — делится. семь в квадрате минус один равно 48 — делится. одиннадцать в квадрате минус один равно 120 — делится. Далее можете проверить сами.

Так почему же именно 24?

Владислав Степанович Малаховский: вещие сны о простых числах

Профессор Малаховский — для калининградского физмата фигура почти мифическая. Признанный в мире специалист по дифференциальной геометрии, знаток множества языков, человек, которого однажды в Британии посчитали советским шпионом, герой мистической передачи на канале «Культура» — он напоминает Джона Форбса Нэша из фильма «Игры разума». Малаховский умудряется вовлекать в математику, как в великое путешествие по миру идей. Высокая академическая планка сочетается у него с юношеским пылом и каким-то детским чутьем к чудесному.

Однажды, спустя много лет после окончания универа, поддавшись ностальгии, я сел на трамвай, докатил до математического корпуса БФУ имени Канта и взял следующее интервью:

Андрей Сафонов (далее — А. С.): — Владислав Степанович, сейчас математика является обязательным предметом, но, если быть честным, у многих школьников она вызывает настоящий ужас. Все эти синусы, логарифмы… Понятно, что они нужны физикам, инженерам… Но, может быть, есть смысл освободить гуманитариев от того, что является для них почти пыткой?

Владислав Малаховский (далее — В. М.): — Как говорили китайцы, «математика — кузница мышления», и я уверен, что, даже если человеку не нужно будет в дальнейшей жизни решать тригонометрические уравнения, изучение математики — это лучшая школа мышления. После нее будет легко освоить все остальное.

А. С.: — Но говорят ведь, что люди делятся на естественников и гуманитариев и то, что легко для одного, другому просто не дано.

В. М.: — Я думаю, данное деление весьма условно. Есть одно мышление, которое можно применять к разным вещам. Я отчетливо вспоминаю, как меня, шестиклассника, привели в старшие классы, и я без единой описки записал все формулы сокращенного умножения. И это произвело на старшеклассников неизгладимое впечатление. И примечательно, что меня никто никогда не обижал в школе — уважали за знание математики.

Память меня выручила и во времена оккупации. Однажды в дом, где мы жили, зашли три немецких солдата, положили на стол оружие и ушли, сказали, что скоро за ним вернутся. А следом за ними зашел немецкий офицер и начал кричать: Warum hier liegt die Waffe? («Почему здесь оружие?») И вот, если бы я, будучи маленьким мальчиком, не рассказал ему бегло на немецком про солдат, нам пришлось бы худо. Тогда я пообещал себе, что если мы выживем, я буду изучать языки.

В 7-м классе я подумал, а раз так хорошо пошло — дай-ка я все кубы натуральных чисел до ста выучу, потом я стал учить логарифмы. Потом внутренний голос сказал: «Цифрами ты можешь погубить себя. Тренируйся на языках». В 9-м классе я решил изучать английский. Учителя по предмету не было, но это меня не остановило. Я попросил маму купить все учебники с 5-го по 11-й класс. У меня была еще адаптированная версия романа Вальтера Скотта «Айвенго», и я переписал ее от руки. А потом написал письмо директору о том, что хочу сдавать английский. На экзамене я не сказал ни слова на русском, и мне потом сказали, что школьницы отличницы стесняются после меня отвечать.

В университете занялся французским. Нам читали лекции по аналитической геометрии на русском, а мы с товарищем записывали их на французском. Потом я занялся итальянским…

Знание языков помогло в научных командировках за границу. Хотя Англии меня чуть не приняли за советского шпиона и проверяли на предмет алкоголя, азартных игр, женщин и т. п. Но меня ничего из этого не интересовало. В итоге меня спросили: «Профессор, неужели вам не скучно так жить?» Мне было не скучно.

А по поводу математики — помню, на первом курсе с нами учился один вундеркинд, который сидел на задней парте и даже не записывал ни одной лекции. К зимней сессии он бросил нам вызов: сказал, что сдаст все экзамены досрочно, за три дня. И мы договорились с товарищем проучить зазнайку. И вот мы втроем подаем заявления, что будем сдавать экзамены досрочно. Преподаватели были в шоке и хотели поставить нас на место. В итоге они гоняли нас по всем учебникам, по всем тонкостям, каждый отвечал около часа, но все получили пятерки. Потом, много лет спустя, я встретил нашего «вундеркинда» на одной научной конференции, я к тому времени был уже профессором и думал, до каких же высот мог он дойти за это время. Оказалось, что он стал скромным доцентом в университете местного значения. Это хороший пример того, что даже гениальные способности без дисциплины могут дать меньше, чем обычный талант плюс трудолюбие.

А. С.: — Вы являетесь признанным во всем мире специалистом по дифференциальной геометрии. Но более широкому читателю вы известны своими книгами о натуральных и простых числах. Для вас, знакомого со сложнейшими многомерными математическими структурами, что там может быть интересного?

В. М.: — Как-то раз ложусь спать и вижу сон: какой-то голос говорит мне: «Займись простыми числами». Я подумал, какой вздор — ведь в этой области уже все давно открыто. Но мне снова и снова снился этот сон. И я все-таки решил ими заняться. В результате мне удалось сделать удивительные открытия. Мне удалось найти ряд многочленов, которые задавали отдельные группы простых чисел.

А. С.: — То есть вы обнаружили не общую закономерность, а как бы отдельные структурированные островки?

В. М.: — Да. До сих пор закономерности обнаруживали только в распределении простых чисел. А мне удалось найти некоторые закономерности внутри самого ряда простых чисел.

А. С.: — Математик Пуанкаре говорил: «Неужели все многообразие математики сводится к простой логической тавтологии А = А?» Но то, что вы говорите, наводит на мысли, что существует некая объективная математическая реальность со своими законами, независящая от нашего физического мира. Кажется, подобные взгляды называются математическим платонизмом. Согласны ли вы с такой концепцией?

В. М.: — Да. Я вообще считаю, что числа свидетельствуют о той гармонии, которую вложил в наш мир Создатель.

А. С.: — Но многие считают, что наука и вера несовместимы. Вы не разделяете таких взглядов?

В. М.: — Конечно, нет! Почти все великие математики были глубоко верующими людьми. Кеплер, Декарт, Паскаль, Лейбниц, Гаусс… Мне нравится высказывание святителя Игнатия Брянчанинова: «Мечтатели сделались безбожниками, а изучившие глубоко математику всегда признавали не только Бога, но и христианство»

.

А. С.: — Вам лично вера помогала в жизни?

В. М.: — Конечно. Очень часто судьба спасала меня от неприятностей и смерти. В конце концов я стал верить в Бога. Все жизненные сложности помогала преодолеть внутренняя вера: если я поступаю правильно, мне всегда помогут. Всевышний всегда поможет — вот мое кредо.

А. С.: — Вообще, это странно для человека вашего поколения, воспитанного в атмосфере атеизма.

В. М.: — Я абсолютно верил в советские идеалы. Считал, что они требуют добросовестности, порядочности и стремления быть первым. Я никогда не мог подумать, что верхушка партии состоит из предателей и мерзавцев, и меня постигло большое разочарование, когда я это понял.

А. С.: — С какими основными проблемами, на ваш взгляд, столкнутся наука и образование в XXI веке?

В. М.: — На мой взгляд, главные опасности — это повсеместная компьютеризация и пренебрежение чистой математикой. Человеческое мышление постепенно пытаются подменить машинным. Одного французского школьника спросили: сколько будет 2+3? Он ответил: «По закону коммутативности это будет столько же, сколько 3+2», после чего достал калькулятор. Сегодня технологиями пытаются подменить мозг человека, а это неправильно, поскольку мозг больше компьютера и мы все еще убедимся в необходимости чистой математики — фундамента для всех наук.

Примечания

1

Река в греческой мифологии, погружаясь в которую души забывали обо всем.

2

Об этом очень интересно рассуждает один из создателей теории большого взрыва Роджер Пенроуз.

3

Тут можно вспомнить аналитические суждения Канта, которые в отличии от содержательных синтетических, являются чистой тавтологией, А=А.