Теорема Пикара (дифференциальные уравнения)

Теорема Пикара — теорема о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.

Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

Подробнее: Параболическое уравнение

Вы́сшая симме́трия (обобщённая симметрия) — одно из фундаментальных понятий раздела математики — группового анализа.

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Теорема Хольмгрена — теорема о единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с частными производными в случае аналитичности коэффициентов дифференциального оператора.

Теорема о монотонной сходимости (теорема Беппо́ Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега, теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Критерий Лиувилля — Мордухай-Болтовского — критерий существования решения в обобщенных квадратурах линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения произвольного порядка.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций...

Дифференциальное уравнение в частных производных (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность решений, строятся на общих принципах, что будет показано ниже.

Подробнее: Точнорешаемая задача

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

Подробнее: Эллиптическое уравнение

Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений.

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Теорема существования — утверждение, которое устанавливает, при каких условиях существует решение математической задачи или математический объект, например производная, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение уравнения и т. д. При доказательстве теорем существования используются сведения из теории множеств. Теоремы существования играют очень важную роль в различных приложениях математики, например при математическом моделировании различных явлений и процессов. Математическая модель...

Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применен и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Подробнее: Методы интегрирования

Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а...

Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора L или, эквивалентно, соответствующего ему линейного уравнения в частных производных — математическое понятие, обобщающее идею функции Грина для дифференциальных операторов, без связи с какой-либо областью и граничными условиями.

Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных.

Уравнение эйконала (от др.-греч. εἰκών — изображение) — нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, встречающееся в задачах распространения волн, когда волновое уравнение аппроксимируется с помощью квазиклассического приближения.

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Неоднородное дифференциальное уравнение — дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частных производных), которое содержит не равный тождественно нулю свободный член — слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Граничные условия Дирихле первого рода — тип граничных условий, названный в честь немецкого математика П. Г. Дирихле. Условие Дирихле, применённое к обыкновенным дифференциальным уравнениям или к дифференциальным уравнениям в частных производных, определяет поведение системы на границе области. Задача о нахождении таких условий называется задачей Дирихле.

Осо́бое реше́ние обыкновенного дифференциального уравнения — решение, в любой окрестности каждой точки которого нарушается единственность решения задачи Коши для этого уравнения.

Анзац-подход является важным методом при решении дифференциальных уравнений, где мы можем подставить пробные функции в систему уравнений и проверить наше решение.

Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем;

Дифференциа́льное уравне́ние Ри́мана — обобщение гипергеометрического уравнения, позволяющее получить регулярные сингулярные точки в любой точке сферы Римана. Названо в честь математика Бернхарда Римана.

Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения.

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры (особенно коммутативной) для решения задач, возникающих в геометрии.

Функции Матьё — математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матьё.

Интеграл Даниеля — одно из обобщений интеграла Римана, альтернативное понятию интеграла Лебега.

Функция Гильберта, ряд Гильберта и многочлен Гильберта градуированной коммутативной алгебры, конечно порождённой над полем — это три тесно связанных понятия, которые позволяют измерить рост размерности однородных компонент алгебры.

Теорема об огибающей (англ. envelope theorem) — результат о дифференцируемости целевой функции в оптимизационных задачах с параметром. Теорема гласит, что при варьировании значения параметра, изменение целевой функции (в определённом смысле) не обусловлено изменением оптимума. Теорема важна для сравнительной статики в оптимизационных моделях.

Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.

Подробнее: Прямая и обратная предельная теорема

Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Теория интегрируемых систем — раздел математической физики, изучающий недиссипативные решения дифференциальных уравнений, в том числе уравнений в частных производных. Такие системы имеют соответствующие высшие симметрии.

Скорость сходимости является основной характеристикой численных методов решения уравнений и оптимизации.

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

Дифференцирование в алгебре — операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.

В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.

Теорема Квиллена — Суслина (проблема Серра, гипотеза Серра) — утверждение о тривиальности произвольного векторного расслоения над аффинным пространством произвольной размерности. Сформулировано как гипотеза в 1955 году Жан-Пьером Серром, доказательство получено в 1976 году Андреем Суслиным и Даниелем Квилленом.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Зада́ча Гурса́ — это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых.

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные...

Теорема Пеано (иногда теорема Коши — Пеано) — теорема о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения, которая утверждает, что...

Функции Йоста (решения Йоста, англ. Jost functions, англ. Jost solutions) — решения одномерного уравнения Шрёдингера для спадающего на бесконечности потенциала.

Γ-сходимость (Гамма-сходимость) – концепция сходимости функционалов, возникающая в вариационном исчислении, а также при изучении дифференциальных уравнений в частных производных.

В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна.Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастельжо.

Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я