Метод самосогласованного поля

Теория среднего поля или теория самосогласованного поля — подход к изучению поведения больших и сложных стохастических систем в физике и теории вероятностей через исследование простых моделей. Такие модели рассматривают многочисленные малые компоненты, которые взаимодействуют между собой. Влияние других индивидуальных компонент на заданный объект аппроксимируется усреднённым эффектом, благодаря чему задача многих тел сводится к одночастичной задаче.

Идея впервые сложилась в физике в работах Пьера Кюри и Пьера Вейсса, что описывали фазовый переход. Аналогичные подходы нашли применение в моделях эпидемий, теории очередей, в анализе компьютерных сетей и теории игр.

Задачу многих тел с учётом взаимодействия между ними решить трудно, разве что для самых простых случаев (теория случайных полей, одномерная модель Изинга). Поэтому систему N тел заменяют одночастичной задачей с хорошо подобранным внешним потенциалом, который заменяет действие всех других частиц на выбранную. Большую сложность имеет (например, при вычислении функции распределения в статистической механике) учёт перестановок при вычислении взаимодействия в гамильтониане при суммировании по всем состояниям. Цель теории среднего поля обойти эту комбинаторику. В различных областях науки теория среднего поля известна под своими собственными названиями, среди которых приближения Брэгга-Вильямса, модель решётки Бете, теория Ландау, приближение Пьера Вейсса, теория растворов Флори — Гаггинза или теория Схейтьенса — Флера.

Основная идея теории среднего поля — заменить все действия на выбранное тело усреднённым или эффективным взаимодействием, которое иногда называют молекулярным полем. Это сводит любую задачу многих тел к эффективной одночастичной задаче. Лёгкость решения задачи теории среднего поля означает получение определённого знания о поведении системы со сравнительно небольшими затратами.

В классической теории поля функцию Гамильтона можно разложить в ряд, используя в качестве параметра разложения величину флуктуаций вокруг среднего поля. Среднее поле можно тогда рассматривать как нулевой порядок этого разложения. Это означает, что теория среднего поля не содержит никаких флуктуаций, но это соответствует тому, что взаимодействия заменяются на среднее поле. Довольно часто при изучении флуктуаций теория среднего поля является стартовой площадкой для исследования флуктуаций первого или второго порядка.

В общем определение того, насколько приближение среднего поля будет работать для конкретной задачи сильно зависит от размерности. В теории среднего поля многочисленные взаимодействия заменяются одним эффективным действием. Тогда, естественно, если поле или частица в начальной системе имеет много партнёров взаимодействия, то теория среднего поля будет эффективной. Это справедливо для высоких размерностей, там где функция Гамильтона включает в себя силы с большим радиусом действия или когда частицы протяжённые (например, полимеры). Критерий Гинзбурга является формальным выражением того, как флуктуации делают приближение среднего поля плохим, часто в зависимости от пространственной размерности системы.

Тогда как теория среднего поля сложилась в статистической механике, она нашла применение и в других областях, например, интерференции, теории графов, нейронауке и при изучении искусственного интеллекта.

Источник: Википедия