Массив Костаса

В математике массив Костаса (названный в честь Джона П. Костаса) можно рассматривать геометрически как набор из n точек, лежащих в клетках шахматной доски размерности n × n таким образом, чтобы каждая строка или столбец содержали только одну точку и все n(n − 1)/2 вектора смещений между каждой парой точек были различны. С помощью этого массива можно создать идеальную кнопкообразную функцию неопределённости (то есть функцию, которая бесконечна в точке (0,0) и принимает значение ноль в других точках), что делает применение массивов Костаса полезным для таких приложений, как гидро- и радиолокация.

Массив Костаса может быть представлен в цифровом виде как массив из n × n чисел, где каждой точке ставится в соответствие 1, а в случае отсутствия точки в массив записывается 0. Если интерпретировать их как двоичные матрицы, эти массивы чисел имеют свойство: каждая строка и столбец имеет только одну точку на нем, поэтому они также являются матрицами перестановок. Таким образом, массивы Костаса для любого n являются подмножеством матриц перестановок порядка n.

Массивы Костаса можно рассматривать как двумерные аналоги одномерных линеек Голомба. Они представляют математический интерес, применяются в разработках радиолокационной техники на фазированных решётках.

Все массивы Костаса вплоть до размера 27 × 27 известны [1]. Существует два способа получения массивов Костаса, работающих с рядом простых чисел и степенью простых чисел. Они известны как методы Уэлча (Велча (Lloyd R. Welch)) и Лемпеля-Голомба, и возникли в математике из теории конечных полей.

Пока неизвестны все массивы Костаса для всех размеров. В настоящее время самые маленькие размеры, для которых массивы неизвестны — 32 × 32 и 33 × 33.

Источник: Википедия