ЧА́СТНЫЙ, -ая, -ое. 1. Представляющий собой какую-л. отдельную часть, подробность чего-л. целого, общего.
Все значения слова «частный»ДЕТЕКТИ́ВНЫЙ, -ая, -ое. Содержащий раскрытие загадочного преступления, изображающий похождения сыщиков. Детективная литература.
Все значения слова «детективный»АГЕ́НТСТВО, -а, ср. Местное отделение какого-л. центрального учреждения или предприятия, а также название некоторых учреждений информационного, посреднического характера. Банковское агентство. Телеграфное агентство. Агентство печати.
Все значения слова «агентство»Какому клиенту понравилось бы распинаться перед группой работников частного детективного агентства, тем более, когда речь идёт о личной драме.
Короче, он промучился некоторое время и наконец решил открыть частное детективное агентство.
Поэтому самым естественным показалось использование сотрудников частного детективного агентства.