ПРОСНУ́ТЬСЯ, -сну́сь, -снёшься; сов. (несов. просыпа́ться1). 1. Очнуться ото сна; пробудиться.
Все значения слова «проснуться»ПО́ЛНОЧЬ, по́лночи и полу́ночи и (устар.) ПОЛУ́НОЧЬ, -и, ж. 1. Середина ночи, время, соответствующее двенадцати часам ночи.
Все значения слова «полночь»Малышку уложили спать, а она проснулась около полуночи и побрела в туалет.
Поэтому неудивительно, что и проснулся около полуночи.