Правила счета элементов бесконечного множества

Петр Путенихин, 2021

Вскрыты ошибки Кантора и его последователей в логических рассуждениях о бесконечных множествах. Приведено доказательство счетности континуума, счетности всех действительных чисел. Показана ошибочность рассуждений в задаче об "Отеле Гильберта". The mistakes of Cantor and his followers in logical reasoning about infinite sets are revealed. The proof of the countability of the continuum, the countability of all real numbers is given. The erroneousness of reasoning in the problem of "Hilbert's Hotel" is shown.

Связь математики и физики

Давно замечено интересное и важное свойство математики, которая позволяет делать верные, но изначально просто как бы выдуманные описания нашего мира, предсказания:

"Существует вопрос, давно волнующий людей, задумывающихся об основаниях математики: почему математика столь эффективна при описании нашего мира и столь хорошо описывает его эволюцию?… Почему эти правила так хорошо работают?"[6]

Однако вряд ли следует слишком уж сильно этому удивляться и вспоминать еще одно её такое же удивительное свойство: способность дать любой желаемый результат. Эта математика так хорошо работает просто потому, что мы и вывели её из прямых наблюдений за окружающей действительностью. Эффективно работает, значит, верно подсмотрели. Более того, в науке и, в частности, в физике уже давно замечена еще одна интересная закономерность: кажущиеся поначалу абстрактными математические выражения, уравнения вдруг оказываются описанием какого-нибудь вполне реального явления:

"… физики обнаруживают, что математические построения, необходимые им для описания нового класса явления, уже исследованы математиками по причинам, не имеющим ничего общего с обсуждаемыми явлениями"[2, с.264].

Однако даже при таком явно полезном подходе следует все-таки быть предельно осторожным при формулировке выводов и следствий из этих математических построений. Можно привести ряд примеров, когда такие выкладки приводят не просто к противоречиям со здравым смыслом, но к довольно заметным противоречиям с логикой, содержат логические ошибки. Например, одним из наиболее известных таких странных выводов при исследовании бесконечных множеств элементов являются доказательства Кантора о равенстве числа точек на квадрате и линии, равной длине его ребра.

Приведённые в статье выкладки опубликованы в авторской книге [11].