Измерять и навязывать. Социальная история искусственного интеллекта

Маттео Пасквинелли (2023)

Искусственный интеллект стремится «разгадать загадку разумности», ключ к которой лежит в тайной логике ума или глубинной физиологии мозга, — так принято считать. Философ науки Маттео Пасквинелли не согласен с этой теорией и строит собственную, которая основана на истории автоматизации труда, гонке за производительностью и желании общества постоянно оценивать человеческую жизнь. Прослеживая историю ИИ — от первого прототипа калькулятора конца XVIII века до современных алгоритмов машинного обучения, распознавания изображений и слежения, — автор показывает, почему у ИИ нет шансов стать злонамеренным «сверхразумом». В формате PDF A4 сохранен издательский макет книги.

Структура книги

Книга состоит из трех частей. В вводной части речь идет о вопросах методологии, а две основных посвящены истории — индустриальной и информационной эпохам соответственно. При этом в книге нет линейной истории технологии и автоматизации. Скорее, каждую главу можно читать как независимый «семинар» по изучению алгоритмических практик и машинного разума.

В первой главе я исхожу из необходимости прежде всего прояснить центральное вычислительное понятие: алгоритм. Что такое алгоритм? В компьютерной науке алгоритм определяют как конечную процедуру пошаговых инструкций по преобразованию ввода в вывод, которая оптимально использует имеющиеся ресурсы. В главе ставится под сомнение приведенное чисто техническое определение алгоритма и обосновывается его материалистическая критика, указывающая на экономические и социальные корни явления. Как и у других абстрактных понятий — таких как число или механизм, — у алгоритма долгая история. Как указал математик Жан-Люк Шабер, «алгоритмы существовали с незапамятных времен, задолго до того, как было придумано специальное слово для их обозначения»^[59]. Обращаясь к социальной математике древнего индуистского ритуала Агничаяна, я утверждаю, что алгоритмическое мышление и алгоритмическая практика присущи всем цивилизациям, а не только метаязыку западной компьютерной науки. В противовес математическому и философскому интуитивизму, который верит в полную независимость ментальных конструкций, в главе подчеркивается, что алгоритмическое мышление возникло в качестве материальной абстракции из взаимодействия разума и орудий, направленного главным образом на решение экономических и социальных задач. Центральный тезис главы сформулирован намеренно остро: труд представляет собой первый алгоритм.

Основные части книги посвящены изучению машинного разума в две исторические эпохи и выявляют сходную проблематику. В первой части рассматриваются труд как источник знаний и автоматизация умственного труда в индустриальную эпоху в Великобритании. Этот период обычно исследуется с точки зрения ручного труда, накопления капитала и ископаемых источников энергии, а вовсе не в перспективе когнитивных аспектов. Во второй части анализируется распространение коннекционизма (доктрины искусственных нейронных сетей) в кибернетических кругах в США 1940–1960‑х годов. Искусственные нейронные сети возникли в результате проекта автоматизации зрительного труда (т. н. распознавания образов), отличного от ручного и умственного. Я утверждаю, что изучение роли знаний, умственного труда и науки в XIX веке необходимо для понимания истории автоматизации, подготовившей восхождение ИИ в XX веке. Обе части книги подходят с разных сторон к одной проблеме: взаимосвязи между формами технологических инноваций и социальной организацией.

Как отмечали историки науки Дастон и Шаффер, движущую силу современных вычислений легче найти в мастерских индустриальной эпохи, чем в томах по математике или натурфилософии того же времени. Поэтому во второй главе в попытке избежать традиционной машинной агиографии новаторские эксперименты Бэббиджа в области автоматизированных вычислений — его Разностная и Аналитическая машины — пересмотрены с экономической точки зрения. Для объяснения устройства этих первых компьютеров (и воплощенного в них варианта «машинного разума») в главе описываются два принципа анализа труда, выработанные Бэббиджем. Согласно первому аналитическому принципу (трудовой теории машин), конструкция машины воспроизводит и заменяет схему разделения труда. Второй принцип (исчисления труда, т. н. принцип Бэббиджа) гласит, что разделение труда на мелкие задачи позволяет измерить и приобрести ровно столько труда, сколько требуется для производства. При совмещении два принципа дают промышленную машину, которая не только делает труд более интенсивным, но и выступает как инструмент (и неявная метрика) его измерения. Бэббидж применил оба принципа к автоматизации ручного счета. Так возникло вычисление — как автоматизация умственного труда и подсчет его стоимости.

Помимо представления обычных «термодинамических» интерпретаций ручного труда, в третьей главе показывается, что сложные понятия умственного труда, коллективного разума и отчуждения знания были разработаны уже в индустриальную эпоху. В этой главе исследуются идеи вокруг становления политической экономии в XIX веке, движения Института механики, общественной кампании «Марш разума» и Вопроса о машинах (дебаты о технологиях и безработице, волновавшие английское общество в те годы). Также освещены противоположные размышления о введенных Бэббиджем принципах анализа труда и изобретательстве. С одной стороны, я показываю, что задолго до появления теоретиков общества знаний в XX веке рикардианские социалисты Уильям Томпсон и Томас Годскин выдвинули познавательную теорию труда. С другой стороны, подчеркиваю необходимость признать влияние промышленных машин и инструментов на развитие знаний о природе, что требует расширить машинную теорию науки. В результате выражение «машинный интеллект» приобретает по меньшей мере четыре значения:

человеческое знание машины;

знание, воплощенное в ее конструкции;

человеческие задания, ею автоматизированные;

новое знание о мире, ставшее возможным благодаря ее применению.

Четвертая глава посвящена тому, как связаны Бэббидж и другой столп политической экономии индустриальной эпохи, Карл Маркс, — эта тема все еще изучена недостаточно^[60]. Здесь исследуется вплетение знаний в материальные действия и артефакты и дано соответствующее прочтение теорий Маркса. В известном отрывке из Grundrisse^[61] философ предсказывал, что постепенное накопление знаний (то, что он назвал «всеобщим интеллектом») в машинах подорвет законы капиталистического накопления и вызовет его фатальный кризис. Благодаря интерпретации итальянских операистов, данной в 1989 году, этот необычный отрывок, получивший название «Фрагмент о машинах», обрел широкую известность среди исследователей и активистов в качестве пророчества об экономике знаний, пузыре доткомов и восхождении ИИ. После десятилетий всевозможных спекуляций в этой главе впервые раскрывается происхождение идеи всеобщего интеллекта (general intellect), которую Маркс встретил в книге Уильяма Томпсона «Исследование принципов распределения богатства» (An Inquiry into the Principles of the Distribution of Wealth; 1824). Также я объясняю (и это даже важнее), почему это понятие не вошло в «Капитал». У Томпсона Маркс почерпнул идею добродетельного накопления знаний и аргумент, согласно которому знание, отчуждаясь в машинах, становится враждебным по отношению к рабочим. Однако именно у Бэббиджа Маркс нашел альтернативную теорию, позволяющую понять двусмысленную роль знаний и науки в промышленной экономике. В «Капитале» Маркс заменил утопические упования на всеобщий интеллект материальной фигурой «совокупного рабочего» (Gesamtarbeiter) — другое имя расширенной трудовой кооперации. Фигура совокупного рабочего как некоего сверхорганизма, объединяющего людей и машины, знаменует в этой книге переход к эпохе кибернетики и кибернетическим экспериментам по самоорганизации. Переходную роль выполняет пятая глава, где кратко описана трансформация труда индустриальной эпохи в век кибернетики и разъясняется, как труд распался на абстрактную энергию и абстрактную форму (информацию).

Вторая часть посвящена коннекционизму как главной родословной современных систем ИИ (я избегаю повторения известной литературы по кибернетике, теории информации и символическому ИИ). В шестой главе развитие искусственных нейронных сетей рассматривается с точки зрения, которой обычно пренебрегают, а именно в перспективе исследований самоорганизации организмов и машин (их обошла вниманием даже Боден в своей огромной истории ИИ). Теории самоорганизации сегодня востребованы в физике, химии, биологии, неврологии и экологии, но именно в среде кибернетиков, а не представителей естественных наук, в середине XX века вспыхнули дебаты о самоорганизации. В главе рассмотрены парадигмы самоорганизующихся вычислений, которые способствовали, среди прочего, укреплению коннекционизма, — в частности, концепция нейронных сетей Уоррена Мак-Каллока и Уолтера Питтса (1943–1947), клеточные автоматы Джона фон Неймана (1948) и перцептрон Розенблатта (1957). Также в шестой главе исследуется реакция кибернетических теорий самоорганизации на социотехнические изменения. Подобно иным вариантам механистического мышления в другие века, кибернетика проецировала на мозг и природу формы организации, которые были частью технического состава окружающего общества. Ключевым примером здесь выступает телеграфная сеть, которая использовалась в XIX веке в качестве аналогии нервной системы, а в ХХ веке — для формализации нейронных сетей, включая машину Тьюринга.

В седьмой главе прослеживается связь концепций искусственных нейронных сетей Мак-Каллока и Питтса с забытым спором о гештальте: дебаты о человеческом восприятии как о когнитивном акте, который может быть представлен аналитически и, следовательно, механизирован. В учебниках по машинному обучению обычно утверждается, что Мак-Каллок и Питтс вдохновлялись нейрофизиологией мозга, но авторами упускается из виду упомянутый интеллектуальный сор. Между тем, именно после этих дебатов выражение «гештальт-восприятие» из военных и академических публикаций превратилось в широко известное словосочетание «распознавание паттернов». Спор о гештальте — это когнитивная окаменелость нерешенной проблемы, и ее изучение помогает понять форму и ограничения, унаследованные глубоким обучением, в частности, неразрешенное противоречие между восприятием и познанием, образом и логикой, которое преследовало технонауку XX века.

В восьмой главе разъясняется двойственная роль неолиберального экономиста Фридриха фон Хайека в укреплении коннекционизма. В книге 1952 года «Сенсорный порядок» Хайек предложил коннекционистскую теорию разума, куда более продвинутую, чем определения ИИ, выработанные на Дартсмутском семинаре в 1956‑м. В этом тексте, как предположили Мак-Каллок и Питтс, Хайек размышлял о создании машины, функционально подобной «нервной системе как инструменту классификации»^[62]. Подобно кибернетикам Хайек изучал самоорганизацию разума, но с другой целью: его интересовала не промышленная автоматизация, а автономия рынка.

Девятая глава посвящена одному из наиболее важных и наименее изученных эпизодов в истории ИИ: изобретению Розенблаттом в 1950‑х годах искусственной нейронной сети перцептрон. Несмотря на свои ограничения, перцептрон стал прорывом в истории вычислений — в нем впервые была автоматизирована техника статистического анализа; по этой причине его считают первым алгоритмом машинного обучения^[63]. В качестве технической формы перцептрон претендовал на имитацию биологических нейронных сетей, но с математической точки зрения осуществлял совсем другой трюк. Чтобы решить задачу распознавания образов, машина представляла пиксели изображения как независимые координаты в многомерном пространстве. Любопытно, что статистический метод многомерной проекции зародился в психометрии и евгенике в конце XIX века и аналогичен тому методу оценки «общего интеллекта» [general intelligence], который Чарльз Спирмен реализовал в спорном тесте на определение коэффициента интеллекта (IQ). Это еще одно доказательство социальной генеалогии ИИ: первая искусственная нейронная сеть — перцептрон — родилась не как автоматизация логического рассуждения, а как статистический метод, который применялся для измерения интеллекта в когнитивных задачах и соответствующей этим измерениям организации социальной иерархии.

В заключении утверждается, что принцип действия ИИ представляет собой не только автоматизацию труда, но и навязывание социальной иерархии ручного и умственного труда посредством автоматизации. С XIX по XX век «хозяйский глаз» промышленного капитализма охватил все общество и установил новые формы контроля, основанные на статистических измерениях «интеллекта», с целью дискриминировать рабочих по уровню навыков. Результаты теста IQ применялись именно так: американский психолог Льюис Терман в 1919 году заявлял, что «IQ 75 или ниже обычно относится к неквалифицированным рабочим, от 75 до 85 — диапазон для полуквалифицированного труда, а показатели 80 или 85 вполне достаточны для успеха в некоторых видах квалифицированного труда»^[64]. ИИ продолжает кодировать социальные иерархии и дискриминировать рабочую силу, косвенно навязывая метрики разумности. Классовые, гендерные и расовые предубеждения, которые системы ИИ, как известно, только усиливают, следует рассматривать не как технический недостаток, а как неотъемлемую дискриминационную черту автоматизации при капитализме. Предвзятость ИИ не ограничивается социальным угнетением: она также выражается в неявном навязывании иерархии труда и знаний, что усиливает поляризацию квалифицированных и неквалифицированных работников на рынке труда. Замену традиционных рабочих мест системами ИИ следует рассматривать вместе с умножением прекарных, низкооплачиваемых и маргинализированных рабочих мест в глобальной экономике^[65]. ИИ и «призрачная работа» — две стороны одного и того же механизма автоматизации труда и социальной психометрии.

Наконец, выдвинутая в книге трудовая теория автоматизации представляет собой не только аналитический принцип, нужный для демонтажа «верховного алгоритма» монополий ИИ, но и принцип синтетический. Он говорит о практике социальной автономии, которая создаст новые формы знания и новые культуры изобретательства.

1. Материальные орудия алгоритмического мышления

Силу наших «ментальных» орудий усиливает сила наших «металлических» орудий^[66].

Жаннет Винг, «Вычислительное мышление», 2008 г.

Использование материального орудия всегда дает больше знаний, чем вложено в его изобретение^[67].

Петер Дамеров и Вольфганг Лефевр, «Орудия науки», 1981 г.

Правила стали механическими до того, как им могли следовать машины^[68].

Лоррейн Дастон, «Алгоритмы до компьютеров», 2017 г.

Воссоздание расчлененного бога

В космогоническом мифе индуистских Вед говорится, что верховное божество Праджапати распадается на части в акте сотворения вселенной. После творения происходит нечто контринтуитивное с точки зрения западных нарративов о господстве и принципов непротиворечивости: тело творца оказывается разобранным и расчлененным. В Индии этот древний миф разыгрывают в ритуале Агничаяна. Ритуал предполагает строительство огненного алтаря Шьеначити, и этот процесс служит символическим воссозданием распавшегося тела бога (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1. Диаграмма огненного алтаря Агничаяна (Staal F. Greek and Vedic geometry // Journal of Indian Philosophy 27, no. 1 (1999): 111)

Алтарь Шьеначити возводят из тысячи кирпичей выверенной формы и точного размера в соответствии со сложной схемой, изображающей сокола. Рабочие кладут пять слоев по 200 кирпичей в каждом, повторяя специальную мантру и следуя пошаговым инструкциям. В основе ритуала лежит решение загадки: каждый слой должен повторять одну и ту же пространственную форму, но различаться внутренней конфигурацией^[69]. Соколиный алтарь следует обращать на восток, знаменуя предстоящий символический полет воссозданного бога к восходящему солнцу — здесь мы видим уникальный пример божественного перевоплощения средствами геометрии.

Агничаяна подробно описана в шульба-сутрах; это посвященное вопросам геометрии дополнение к Ведам записано около 800 года до н. э. в Индии и опирается на гораздо более древнюю устную традицию^[70]. Согласно этим текстам риши (духи жизни) создали семь пуруш (космических существ), имеющих форму квадрата; вместе они образовали единое тело, а уже из этой простой конфигурации возникло сложносоставное тело Праджапати^[71]. Шульба-сутры учат строить алтари определенных геометрических форм, чтобы снискать благорасположение богов. Так, говорится, что «тем, кто хочет уничтожить настоящих и будущих врагов, следует построить огненный алтарь в форме ромба»^[72]. Помимо религиозного значения ритуал Агничаяна и шульба-сутры обладали функцией передачи важных для общества техник, например умения планировать строительство и увеличивать существующие здания с сохранением первоначальных пропорций^[73]. Агничаяна служит примером того, что математическое знание изначально носит социально-материальный характер, а также демонстрирует типичную для кастовой системы иерархию ручного и умственного труда. При сооружении жертвенника рабочие руководствуются правилами, которые традиционно существуют лишь у определенной группы мастеров. Она же и передает эти правила. Ритуалы, подобные Агничаяне, — это не только упражнения в геометрии. Они обучают процедурному знанию, которое не сводится к абстракции и основано на продолжительной «механической» тренировке. Кроме того, они показывают, как религия может побуждать к точности, а духовные упражнения — использоваться как средство трудовой дисциплины^[74].

Агничаяна — уникальный артефакт в истории человеческой цивилизации: это самый древний задокументированный ритуал, который практикуется по сей день, хотя из-за сложности и проводится лишь несколько раз в столетие^[75]. На протяжении тысячелетий с его помощью передавались и сохранялись сложные парадигмы знания, и благодаря комбинаторному механизму Агничаяны этот ритуал можно определить как первичный пример алгоритмической культуры. Что же позволяет интерпретировать как алгоритм столь древний ритуал? Согласно одному из самых распространенных в компьютерной науке определений, алгоритм, как уже упоминалось, — это конечная процедура пошаговых инструкций для преобразования ввода в вывод вне зависимости от данных и с наилучшим использованием имеющихся ресурсов^[76]. Рекурсивные мантры, которые направляют рабочих на строительной площадке огненного алтаря, напоминают правила компьютерной программы: вне зависимости от контекста алгоритм Агничаяны позволяет точно распределить кирпичи и построить Шьеначити. Историки обнаружили, что индийская математика с древних времен носила преимущественно алгоритмический характер. Это означает, что задачи предлагалось решать не с помощью логической демонстрации, а путем пошаговой процедуры^[77].

Так, итальянский математик Паоло Целлини утверждает, что ритуал Агничаяны свидетельствует о более сложной технике, чем следование жесткому правилу, а именно — об эвристическом методе пошаговой аппроксимации. Известно, что ведическая математика раньше, чем это произошло у других цивилизаций, познакомилась с бесконечно большими и бесконечно малыми числами. В древних сутрах перемножались огромные позиционные числа индуистской системы счета для охвата необъятных просторов вселенной (мыслительное упражнение, которое невозможно себе представить, например, в аддитивных шумерских, греческих и римских системах счисления). Ведическая математика также была знакома с иррациональными числами, например квадратным корнем, который во многих случаях (например, √2) можно рассчитать только приблизительно. В мантрах шульба-сутр пропеваются самые древние (и доскональные) объяснения вычислительных процедур (например, так называемого вавилонского алгоритма) для приближенного выражения квадратного корня. Процедуры приближения могут показаться громоздкими, слабыми и неточными по сравнению с математическими функциями и геометрическими теоремами, но их роль в истории математики и техники важнее, чем это принято считать. В книге по истории методов постепенного прироста (включая, среди прочего, древний метод гномона) Целлини утверждал, что индуистские методы пошагового приближения эквивалентны современным счетным алгоритмам Лейбница и Ньютона и даже техникам исправления ошибок, которые лежат в основе искусственных нейронных сетей и машинного обучения, составляющих парадигму ИИ (см. главу 9)^[78].

Некоторым прочтение древних культур через парадигму новейших технологий Кремниевой долины, как и изучение математической составляющей религиозных ритуалов в эпоху оголтелого национализма, может показаться актом незаконного присвоения. Однако утверждать, что абстрактные техники познания и искусственные метаязыки безраздельно принадлежат современному индустриальному Западу, исторически неверно. Подобное утверждение — акт скрытого эпистемического колониализма по отношению к культурам других эпох и регионов^[79]. Альтернативные формы вычислений, лежащие вне гегемонии Глобального севера и присущего ему режиму экстрактивизма знаний, получили признание и изучаются благодаря вкладу этноматематики, деколониальных исследований, а также истории науки и техники. Алгоритмами из-за их роли в компьютерном программировании обычно считают абстрактное применение сложных наборов правил. В этой книге я, напротив, утверждаю, что все алгоритмы, включая сложные алгоритмы искусственного интеллекта и машинного обучения, берут начало в общественной и материальной деятельности. Алгоритмическое мышление и алгоритмические практики, широко понимаемые как решение задач на основе правил, представляют собой часть всех культур и цивилизаций.

Конец ознакомительного фрагмента.

Примечания

59

Chabert J.-L. (ed.). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Berlin: Springer, 1999. P. 1.

60

За исключением работ: Caffentzis G. In Letters of Blood and Fire: Work, Machines, and Value. Oakland: PM Press, 2013; Wendling A. E. Karl Marx on Technology and Alienation. Berlin: Springer, 2009. См. также: Beamish R. Marx, Method, and the Division of Labour. Urbana: University of Illinois Press, 1992; Dotzler B. Diskurs und Medium I: Zur Archäologie der Computerkultur. Munich: Fink Verlag, 2006.

61

В советско-российской традиции за этим сборником записей, известном как черновой вариант «Капитала», закрепилось название «Экономические рукописи 1857–1859 годов», под которым он был опубликован в составе 46‑го тома собрания сочинений Маркса и Энгельса. Позднее сотрудники Института марксизма-ленинизма уточнили датировку вошедших в сборник документов, поэтому отдельное двухтомное издание 1980 года, по которому даны цитаты в этом переводе, носит название «Экономические рукописи 1857–1861 гг. (Первоначальный вариант"Капитала")». Во избежание путаницы для обозначения сборника я использую название, принятое в западной марксистской традиции, — Grundrisse (нем. план, очерки, набросок). Историю переоткрытия Grundrisse с точки зрения западного марксизма автор разбирает в главе 4. — Прим. пер.

62

Hayek F. The Sensory Order: An inquiry into the Foundations of Theoretical Psychology. Chicago: University of Chicago Press, 1952. P. 55.

63

Первое использование термина «машинное обучение» см.: Samuel A. Some Studies in Machine Learning Using the Game of Checkers // IBM Journal of Research and Development 44 (1959): 206–226. Также Тьюринг размышлял о «неорганизованных машинах», которые обладают способностью самоорганизовываться и, таким образом, обучаться: Turing A. Intelligent Machinery (1948) // The Essential Turing. B. Jack Copeland (ed). Oxford: Oxford University Press, 2004.

64

Terman L. The Intelligence of School Children: How Children Differ in Ability, the Use of Mental Tests in School Grading, and the Proper Education of Exceptional Children. Boston: Houghton Mifflin, 1919. P. 274. Цит. по: Gould S. J. The Mismeasure of Man. New York: Norton & Company, 1981. P. 212.

65

О деградации рынка труда за счет умножения бессмысленных профессий см.: Грэбер Д. Бредовая работа. Трактат о распространении бессмысленного труда. М.: Ад Маргинем, 2020. См. также: Бенанав А. Автоматизация и будущее работы. М.: Изд-во Института Гайдара, 2022.

66

Wing J. M. Computational Thinking and Thinking about Computing // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical, and Engineering Sciences 366, no. 1881 (2008): 3718.

67

Damerow P. and Lefèvre W. Tools of Science // Abstraction and Representation: Essays on the Cultural Evolution of Thinking. Berlin: Springer, 2013. P. 401.

68

Daston L. Algorithms before Computers: Patterns, Recipes, and Rules // Katz Distinguished Lecture in the Humanities, Simpson Center for the Humanities, University of Washington, 19 April 2017. См. также: Daston L. Rules: A Short History of What We Live By. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2022.

69

Ramasubramanian K. Glimpses of the History of Mathematics in India // Mathematics Education in India: Status and Outlook. R. Ramanujam and K. Subramaniam (eds). Mumbai: Homi Bhaba Centre for Science Education (TIFR), 2012.

70

Голландский индолог Фриц Сталь описывает Агничаяну в двухтомнике (и документальном фильме) об экспедиции в Кералу в 1975 году. См.: Staal F. Agni: The Vedic Ritual of the Fire Altar. Two vols. Berkeley: Asian Humanities Press, 1983. Сталь утверждает, что абстрактные культурные формы возникают из бессознательного и что язык, числовые символы и геометрия представляют собой первые коллективные практики. См.: Staal F. Rules without Meaning: Ritual, Mantras, and the Human Sciences. New York: Peter Lang, 1989. P. 71

71

Zellini P. La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini/ Milano: Adelphi, 2016. P. 41. (The Mathematics of the Gods and the Algorithms of Men. London: Penguin, 2020.)

72

Plofker K. Mathematics in India // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Victor Katz (ed.). Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007.

73

Об исследовании передачи знаний и технологий в древности см.: Renn J. (ed.). The Globalization of Knowledge in History, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2020.

74

Разделение труда в Агничаяне также напоминает сложную оперативную цепь (chaîne opératoire), которую французский антрополог Андре Леруа-Гуран выявил во многих родовых (изначально не иерархических, а спонтанных и кооперативных) практиках изготовления инструментов. См.: Sellet F. Chaîne opératoire: The Concept and its Applications // Lithic Technology 18, nos. 1–2 (1993): 106–112.

75

Последние ритуалы прошли в 1955, 1975 (церемония задокументирована Фрицем Сталем) и 2011 годах.

76

См. также: Chabert J.-L. (ed.). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Berlin: Springer, 1999. P. 2. (Chabert J.-L. Histoire d’algorithmes: Du caillou à la puce. Paris: Belin, 1994. P. 6.) «Алгоритм — это конечная последовательность правил, применяемая в определенном порядке к конечному набору данных для получения за конечное число шагов определенного результата вне зависимости от данных». Перевод мой: французский оригинал дает более точное определение, поскольку в английском издании отсутствует оборот «вне зависимости от данных».

77

Sriram M. S. Algorithms in Indian Mathematics // Contributions to the History of Indian Mathematics. Gurgaon: Hindustan Book Agency, 2005. P. 153–182.

78

Zellini. La matematica degli dèi, 51. Спорная, но влиятельная история исчислений, см.: Cohen H. Das Prinzip der Infinitesimal-Methode und seine Geschichte: Ein Kapitel zur Grundlegung der Erkenntniskritik (1883).

79

Историк математики Сентил Бабу пишет: «До сих пор специалисты по истории математики в Индии в основном работали с корпусом текстов на санскрите… Индология признала и канонизировала только благородную санскритскую традицию. Знания многих практиков математики стали невидимыми». Babu S. Mathematics and Society: Numbers and Measures in Early Modern South India. Oxford: Oxford University Press, 2022. P. 2–5. См. также: Babu S. Indigenous Traditions and the Colonial Encounter: A Historical Perspective on Mathematics Education in India // Ramanujam and Subramaniam, Mathematics Education in India.