100 задач с числом года. Часть 1. Выпуск 1

Ирина Краева

Книга предназначена тем, кто любит числовые изыски, а также применяет их в своей профессионально-педагогической деятельности.

Часть I.

ЗАДАЧИ

СО СТАНДАРТНЫМ УСЛОВИЕМ

И

УНИВЕРСАЛЬНЫМ

СПОСОБОМ РЕШЕНИЯ

Числовые выражения

Найдите значение предложенных числовых выражений

1. N ² — (N — 1) ².

Например, 2023² — 2022².

2. (100010001 × N) × (N — 1) — (100010001 × (N — 1)) × N.

Например, 202320232023 ∙ 2022 — 202220222022 ∙ 2023.

3. N ^{lg (N — 1)} — (N — 1)^{lg N}.

Например, 2023^{lg 2022} — 2022^{lg 2023}.

4. log_N log_N N.

Например, log₂₀₂₃log₂₀₂₃2023.

Найдите сумму чисел

5. 1 +2 +3 +… + N.

Например, 1 +2 +3 +… +2023.

6. N + (N — 1) +… +2 +1.

Например, 2023 +2022 +… +2 +1.

7. 1 +2x +3x² +… + Nx^{N — 1} для x = 2.

Например, 1 +2 ∙ 2 +3 ∙ 2² +… +2023 ∙ 2²⁰²².

8. 2 ∙ 2⁰ +3 ∙ 2¹ +4 ∙ 2² +5 ∙ 2³ +… + N ∙ 2^{N — 2} + (N +1) ∙ 2^{N — 1}.

Например, 2 ∙ 2⁰ +3 ∙ 2¹ +4 ∙ 2² +5 ∙ 2³ +… +2024 ∙ 2²⁰²².

9. 1² ∙3¹ +2² ∙ 3² +3² ∙ 3³ +4² ∙ 3⁴ +… + N² ∙ 3^N.

Например, 1² ∙3¹ +2² ∙ 3² +3² ∙ 3³ +4² ∙ 3⁴ +… +2023² ∙ 3²⁰²³.

10. 1∙1! +2∙2! +3∙3! +… + N ∙ N!.

Например, 1 ∙ 1! +2 ∙ 2! +3 ∙ 3! +… +2022 ∙ 2022!.

Разные задания на вычисление

11. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна N (например, 2023). Найдите уменьшаемое.

12. Среднее арифметическое (N — 1) чисел равно (N — 2), а среднее арифметическое других N чисел равно (N — 1). Найдите среднее арифметическое всех чисел.

Например, среднее арифметическое двух тысяч двадцати двух чисел равно 2021, а среднее арифметическое других двух тысяч двадцати трёх чисел равно 2022. Найдите среднее арифметическое всех чисел.

13. Известно, что p <1 и (1 + p) (1 + p²) (1 + p⁴)… = N.

Например, (1 + p) (1 + p²) (1 + p⁴) (1 + p⁸)… = 2023.

Найдите p.

14. Дана числовая последовательность, для которой известно, что x₁ = x₂ = 2, x₃ = 8 и для любого натурального n выполняется x_n+3 + x_n+1 = 2x_n+2 +2x_n. Найдите x_N (x₂₀₂₃).

15. Вычислите число p, если

log₂3 ∙ log₃4 ∙… ∙ log_p (p +1) = N.

Например, log₂3 ∙ log₃4 ∙… ∙ log_p (p +1) = 2023.

16. Какой коэффициент будет стоять при степени x^N—1, в многочлене (1 + x) ^N?

Например, определить коэффициент при x²⁰²² в выражении (1 + x) ²⁰²³.

17. На плоскости даны N (2023) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых, проходящих через эти точки, можно построить?

18. Сколько диагоналей имеет выпуклый N-угольник (например, 2023-угольник)?

19. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) две ладьи так, чтобы они не угрожали друг другу?

20. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) ладьи в количестве N (2023) штук так, чтобы они не угрожали друг другу?

Сравнение чисел

Сравните предложенные числа

21. (10000N + (N — 1)) × (10000N + (N +1)) и (10001N) ².

Например, 20232022 ∙ 20232024 и 20232023².

22. N ^{N +1} и (N +1) ^N.

Например, 2023²⁰²⁴ и 2024²⁰²³.

23. N ^N и (N +1) ^{N — 1}.

Например, 2023²⁰²³ и 2024²⁰²².

24. N ^N и (N — 1) ^{N +1}.

Например, 2023²⁰²³ и 2022²⁰²⁴.

25. ((N — 1) ^{N — 1} + N ^N) и ((N — 1) ^N + N ^{N — 1}).

Например, (2022²⁰²² [phone]) и (2022²⁰²³ [phone]).

26. (N ^{N +1} + (N +1) ^N) и (N ^N + (N +1) ^{N +1}).

Например, (2023²⁰²⁴ [phone]) и (2023²⁰²³ [phone]).

27. ((N — 1) ^{N — 1} × N ^N) и ((N — 1) ^N × N ^{N — 1}).

Например, (2022²⁰²² ∙ 2023²⁰²³) и (2022²⁰²³ ∙ 2023²⁰²²).

28. (N!) ² и (N ²)!. Например, (2023!) ² и (2023²)!.

29. 2lg (N + (N +1)) и lgN + lg (N +1).

Например, 2lg (2023 +2024) и (lg2023 + lg2024).

30. log_{N — 1}N ² и log_{N +1} (N ² — 1).

Например, log ₂₀₂₂2023² и log₂₀₂₄ (2023² — 1).

Уравнения

31—42. Решить квадратные уравнения, коэффициенты которых являются «удобными» комбинациями чисел ± 1; ± (N — 1); ± N, то есть, чтобы либо сумма коэффициентов была равна нулю, либо сумма первого и третьего была равна второму.

Например,

31) 2023x² — 2022x — 1 = 0;

32) 2023x² +2022x — 1 = 0;

33) 2023x² + x — 2022 = 0;

34) 2023x² — x — 2022 = 0;

35) 2022x² — 2023x +1 = 0;

36) 2022x² +2023x +1 = 0;

37) 2022x² + x — 2023 = 0;

38) 2022x² — x — 2023 = 0;

39) x² — 2023x +2022 = 0;

40) x² +2023x +2022 = 0;

41) x² — 2022x — 2023 = 0;

42) x² +2022x — 2023 = 0.

Решите уравнения

43. (x + N — 1) ² + (x + N) ² + (x + N +1) ² = 2.

Например, (x +2022) ² + (x +2023) ² + (x +2024) ² = 2.

44. (x + N — 1) ² + (x + N) ² + (x + N +1) ² = 3.

Например, (x +2022) ² + (x +2023) ² + (x +2024) ² = 3.

45. (x + N — 1) ² + (x + N) ² + (x + N +1) ² = 4.

Например, (x +2022) ² + (x +2023) ² + (x +2024) ² = 4.

46. (x + N — 1) ² + (x + N) ³ + (x + N +1) ² = 2.

Например, (x +2022) ² + (x +2023) ³ + (x +2024) ² = 2.

47. (x + N — 1) ² + (x + N) ³ + (x + N +1) ² = 5.

Например, (x +2022) ² + (x +2023) ³ + (x +2024) ² = 5.

48. (x + N — 1) ² + (x + N) ³ + (x + N +1) ⁴ = 2.

Например, (x +2022) ² + (x +2023) ³ + (x +2024) ⁴ = 2.

49. (x² + x +1) + (x² +2x +3) +… + (x

Конец ознакомительного фрагмента.