Метод конечных элементов

Дмитрий Альбертович Оголихин, 2018

Многие инженеры, несмотря на высшее образование, не знают, что такое метод конечных элементов (МКЭ) и оставляют задачи расчёта конструкций дорогостоящим программным продуктам типа Ansys или Nastran.Назначение этой книги – показать, что МКЭ является таким же несложным методом, как и весь сопромат.

Введение

Метод конечных элементов — один из т. н. сеточных методов. Такие методы предполагают рассмотрение цельной конструкции как совокупности отдельных конечных элементов, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Разбиение конструкции на конечные элементы. а — нумерация конечных элементов; б — нумерация узлов.

В качестве конечных элементов выступают знакомые нам из сопротивления материалов и строительной механики стержни, балки, плиты, оболочки и т. п. По сути своей решение методом конечных элементов сводится к решению уравнения задачи в динамической постановке:

M∙d²u/dt²+C∙ du/dt+K∙u = P

где M — матрица масс конструкции;

C — матрица демпфирования конструкции;

K — матрица жёсткости конструкции;

d²u/dt² — вектор ускорений узлов конструкции;

du/dt — вектор скоростей узлов конструкции;

u — вектор перемещений узлов конструкции;

P — вектор узловых нагрузок.

Если вектор узловых сил P не меняется во времени, то задача сводится к статической, описываемой уравнением:

K∙u = P

Так как многие задачи в машиностроении сводятся к статическим, то упор в книге будет делаться на них. Для рассмотрения задач будет использоваться среда MathCad 15.