Связанные понятия
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.
Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) — числовая характеристика протяжённости этой кривой. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).
Полный квадрат или квадратное число — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень которого тоже целый.
Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Упоминания в литературе
Действительно, с одной стороны, П. Бурдье представил социальное пространство, как до него П. Сорокин[22], в виде, многомерного куба, в котором вместо положений рассматриваются капиталы, выступающие как центры силы. Поля в этом случае, фактически, являются сечениями или срезами такого многомерного куба по различным переменным, в качестве которых выступают, прежде всего, различные категории (включая культуру), которые Бурдье рассматривал как экономические понятия, подчиняющиеся правилам рынка. Но, с другой стороны, в концепции Бурдье, социальное пространство не является некоей «теоретически оформленной пустотой», в которой обозначены координаты агентов. Агенты, как тела и биологические индивиды, «занимают место». Это место, topos, может быть определено двояко: либо абсолютно, т. е. как локализация, в которой находится агент или предмет, где он
существует, «имеет место»; либо – относительно, релятивно, как положение, ранг в порядке. Занимаемое место в таком случае, согласно Бурдье, может быть определено как площадь, поверхность и объем, который занимает агент или предмет: агенты «занимают» определенное пространство, а дистанция между их позициями – это тоже не только социальное, но и физическое пространство. В результате, социальное пространство представляет собой воплотившиеся физически социальные иерархии и классификации.
Начнем с того, что Фреге включает в свою онтологию такие типы объектов, как функции и предметы, которые могут выступать в роли аргументов и значений функций. При этом он значительно расширил понятие функции, освободив ее от связи с числами и определив в качестве ее возможных аргументов и значений любые другие предметы, например физические вещи, людей и т. п. Помимо перечисленных он включил в число предметов два абстрактных объекта – «истину» и «ложь», которые являются аргументами и(или) значениями особой категории функций – так называемых логических функций. Частным случаем логических функций (с одним аргументом, определенным на области произвольных предметов, и «истиной» и «ложью» в качестве значения) у Фреге оказываются понятия, которые играют ключевую роль в его логической системе, ибо, относя к арифметике все то, что поддается счету, он полагал, что ее область совпадает с областью понятийного мышления[9]. Поскольку, по его мнению, понятие должно указывать, каким свойством нужно обладать предмету, чтобы подпадать под данное понятие, именно в понятиях он усматривал «основание существования классов». Отождествив понятие с общим свойством, которым должны обладать подпадающие под него предметы, а объем понятия – с классом этих предметов, Фреге ввел в свою онтологию такие важные сущности, как свойства и классы. Кроме того, он особо выделил еще
два вида логических функций – отношения (функции с двумя аргументами, определенными на области произвольных предметов, и «истиной» и «ложью» в качестве значения) и пропозициональные функции, где и аргументами, и значениями выступают «истина» и «ложь», которые в дальнейшем стали называть истинностными значениями.
Понятие как простейший элемент в логике состоит из двух элементов: объема и содержания. Поскольку понятие состоит только из двух элементов, а суждение составляют как минимум два понятия, то
понятие – простейшая форма мысли, лежащая в основе других. Обратным отношением объема и содержания понятие определяет диалектичность и более сложные формы мысли.
Тот факт, что один и тот же феномен проявляется и как частица, и как волна, конечно, нарушал аристотелевскую логику. Форма частицы подразумевает сущность, заключенную в малом объеме или в
конечной области пространства, тогда как волна распространяется по огромным областям пространства. В квантовой физике эти два описания взаимоисключительны, но равно необходимы для полного понимания рассматриваемых явлений. Это нашло свое выражение в новом логическом приспособлении, которому H. Бор (Bohr, 1934; 1958) дал название принципа дополнительности.
Обобщение – мысленное расширение, увеличение, перенесение (экстраполяция) известного на область неизвестного; метод выделения отличительных черт, свойств и признаков, принадлежащих группам известных предметов (явлений, процессов, мыслей о них), и распространение их на другие, еще не известные группы. Обобщение – не просто выделение общего, а выделение отличительно-специфического для области предметов, для класса, объема,
множества, для предмета мысли. Обобщение, кроме того, и подведение итога, суммирование, осмысление накопленного материала (знания), формирование на этой основе общего положения (например, определения или закона). Обобщенный взгляд на тот или иной предмет является в то же время и упрощением, поскольку общий взгляд, конечно же, опускает частности, детали; обобщение как бы сводит сложное к простому. Обобщение увеличивает объем мысли. Обобщение распространяет имеющееся знание на область неизвестного, как в случае перенесения на планету Марс признаков, присущих планете Земля. Обобщение, как и другие мыслительные, методы выполняет многообразные функции в интеллектуальной деятельности человека.
Связанные понятия (продолжение)
Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.
В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.
Подробнее: Ограниченное множество
Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.
Прострáнством называется математическое множество, имеющее структуру, определяемую аксиоматикой свойств его элементов (например, точек в геометрии, векторов в линейной алгебре, событий в теории вероятностей и так далее).Подмножество пространства называется «подпространством», если структура пространства индуцирует на этом подмножестве структуру такого же типа (точное определение зависит от типа пространства).
Подробнее: Пространство (математика)
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма - однородным многочленом любой степени от двух переменных.
Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.
Теорема Жордана — классическая теорема геометрии известная благодаря простоте формулировки и чрезвычайной сложности доказательства.
Инве́рсия (от лат. inversio «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.
Единичный круг — круг радиуса 1 на евклидовой плоскости (рассматриваемый обычно на комплексной плоскости); «идиоматическая» область в комплексном анализе.
Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния.
Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.
Величина ́ — математическое понятие, описывающее объекты, для которых может быть определено отношение неравенства и смысл операции сложения, а также выполняется ряд свойств, включая аксиомы Архимеда и непрерывности. Величина является одним из основных понятий математики.
Подмногообразие ― термин, используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.
Те́ло геометри́ческое — «то, что имеет длину, ширину и глубину» в «Началах» Евклида, в учебниках элементарной геометрии ко всему «часть пространства, ограниченная своей образуемой формой».
Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то...
Геометри́ческое ме́сто то́чек (ГМТ) — фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.
Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Полукольцо — общеалгебраическая структура, похожая на кольцо, но без требования существования противоположного по сложению элемента.
Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.
Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.
Дедеки́ндово сече́ние (или у́зкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.
Начало координат (начало отсчёта) в евклидовом пространстве — особая точка, обычно обозначаемая буквой О, которая используется как точка отсчёта для всех остальных точек. В евклидовой геометрии начало координат может быть выбрано произвольно в любой удобной точке.
Скорость сходимости является основной характеристикой численных методов решения уравнений и оптимизации.
Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».
Абсолютная геометрия — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики (то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться). Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского.
Бордизм , также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных...
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
В компле́ксном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.
Подробнее: Вычет (комплексный анализ)
Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.
Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.
Асимпто́та или аси́мптота (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающий, не касающийся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.
Факторкольцо ́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Аффи́нная свя́зность — линейная связность на касательном расслоении многообразия. Координатными выражениями аффинной связности являются символы Кристоффеля.
Математическая константа или математическая постоянная — величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменной. В отличие от физических постоянных, математические постоянные определены независимо от каких бы то ни было физических измерений.
Многомерный
анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.
Упоминания в литературе (продолжение)
Вот как описывает проблему визуализации известный квантовый теоретик Ли Смолин. Вообразите область пространства, по форме напоминающую куб. На диаграмме мы изображаем ее как точку, представляющую объем, с шестью выходящими из нее линиями, каждая из которых изображает одну из граней
куба. Число рядом с точкой указывает величину объема, а числа рядом с линиями – величину площади соответствующих граней.
Необходимо сказать о так называемой величине содержания понятий. Она неразрывно связана с их объемом. В данном случае подразумевается способность одних понятий быть шире, чем другие, и тем самым как бы «перекрывать» их. Например, понятие «наука» по содержанию значительно больше, чем понятие «логика» и перекрывает последнее.
При характеристике первого понятия можно использовать, а можно и не использовать второе, а заменить его другим или вообще обойтись иными средствами. Однако, давая характеристику понятию «логика», нам неизбежно придется использовать понятие «наука». Понятие «наука» в данном случае является подчиняющим, а «логика» – подчиненным. Возьмем для примера два других понятия – «вертолет» и «самолет». Эти понятия по отношению друг к другу не являются подчиненным и подчиняющим. Дать определение одного из них, используя другое, практически невозможно. Единственным признаком, связывающим эти два понятия, является то, что их предметы есть приспособления для совершения полетов. Подчиняющим понятием как для первого, так и для второго будет «летательный аппарат».
Обобщение – логическая операция, в результате которой путем сокращения содержания происходит переход от понятий с меньшим объемом, но большим содержанием, к понятию с большим объемом, но меньшим содержанием. Обобщение понятия не может быть беспредельным; наиболее
общими являются понятия с предельно широким объемом – категории философии («материя», «сознание»).
Не так давно было открыто и изучено явление, получившее название «странный аттрактор». Оказалось, что траектории многих детерминированных систем могут полностью заполнять некоторый фазовый объем: в любой окрестности любой точки этого объема всегда будут находиться точки, принадлежащие траектории одной и той же системы. Движение таких систем характеризуется высшей степенью неустойчивости: две любые сколь угодно близкие точки будут порождать совершенно различные траектории. Такие особенности движения были названы в математике некорректностями. Французский математик Ж. Адамар считал, что в «правильных физических теориях» всегда должна
иметь место «корректность»: малым причинам должны отвечать малые следствия. Если задача оказывалась некорректной, то она, согласно Адамару, была неправильно поставлена. Этот принцип, который долгое время играл важную роль в математической физике, теперь приходится пересматривать. Процессов, которым свойственна «некорректность», в природе гораздо больше, чем это было принято думать еще несколько десятилетий тому назад. Траектории подобных систем, в частности систем, обладающих «странным аттрактором», несмотря на то что они порождаются вполне детерминированными уравнениями, подобны траекториям, порождаемым случайным процессом. Они не только хаотичны, но из-за сильной неустойчивости их невозможно прогнозировать – любая сколь угодно малая неточность в вычислениях, а они неизбежны при работе электронных вычислительных машин, ведет к совершенно неправильным результатам. В связи с этими свойствами «странного аттрактора» и из-за аналогичных «неустойчивостей» невольно возникает целый ряд вопросов. Вот, может быть, главные из них.
Третья особенность объекта – это абстрактность его актуальных для мышления свойств при его непосредственной данности субъекту. Замечательно поясняет это пример, предложенный О. К. Тихомировым (1984). Шахматный
конь – весьма конкретный объект, имеющий размеры, форму и т. п., его можно взять в руки, взвесить, определить объем. Но суть его при этом не будет обнаружена. Ведь и корочка хлеба, когда фигура коня потерялась, прекрасно выполняет соответствующие функции. Это связано с тем, что суть шахматного коня – это свойство ходить буквой «г». Данное свойство не взвесишь и не измеришь. Вот и практическое мышление нередко имеет дело с непосредственно данным объектом, однако, как правило, оперирует не его наглядно данными качествами, а некоторым абстрактным, непредставимым содержанием: свойствами сырья поддаваться обработке, взаимоотношениями на участке, картиной болезни. Сложность мышления практика именно в том, что нередко он должен обнаруживать, определять эти свойства по внешним, конкретным признакам: по виду сырья, по поведению работников, по внешнему виду и жалобам больного.
11. Первое характерное свойство энергии заключается в том, что она сохраняется при всех своих изменениях. Когда какое-нибудь образование проходит через ряд состояний, то бывает всегда в наличности одна величина Е, обладающая тем свойством, что какой бы ни был ряд изменяющихся состояний, она принимает снова прежнюю величину, когда образование возвращается в первоначальное состояние. Эта величина и есть энергия образования. Энергия, следовательно, неразрывно связана со всяким состоянием образования. И она связана с ним не только со стороны количества, но и со стороны качества. В одном каком-нибудь определенном состоянии образования отдельные его части обладают в общем различными свойствами и притом каждая часть обладает рядом свойств (каковы: объем, давление, теплота, электрическое напряжение, химическое сродство и т. д.). Каждое из этих свойств означает, как величина (см. §8), тенденцию к изменению. Если для каждой из этих величин ввести специфическую единицу, то с каждым из этих свойств может быть связана определенная величина энергии, так что общая энергия тела представляет собою сумму нескольких родов энергии; эти роды энергии называются в энергетике «формами энергии». Каждое изменение состояния образования характеризуется тем, что здесь происходит изменение некоторых форм энергии, но так, однако, что исчезновение определенной величины энергии одной формы всегда соответствует такой же величине приращения энергии другой формы. При соответственном выборе единиц такие количества энергии,
называемые обычно эквивалентными, могут быть выражены через одни и те же числа. Здесь установлены следующие положения.
Во второй части процесса, т. е. при движении вглубь серединного ощущения, внутренняя территория воспринимается как безграничное многомерное пространство, расположенное внутри физического тела. Это парадоксальное явление становится понятным, если осознаются (хотя бы чувственно) высшие измерения пространства внутренней территории. В той его части, которая совпадает с областью трехмерного физического мира, пространство внутренней территории конечно и ограничено размерами физического тела либо размерами области,
где находится наблюдаемый сюжет. Раскрытие серединного ощущения сопровождается переходом в более высокие измерения. Их количество растет по мере того как мы движемся в глубинные области внутренней территории. В этих дополнительных измерениях объем не ограничен. Как мы помним, эти измерения воспринимаются только чувственно, но не визуально.
Революционное изменение частично определяется его отличием от нормального изменения, а нормальное изменение, как уже упомянуто, добавляет нечто к тому, что
уже известно. Например, обычным результатом этого нормального процесса являются научные законы: иллюстрацией может служить закон Бойля. Его первооткрыватели предварительно имели понятие о давлении газа и его объеме, а также обладали инструментами для определения величины давления и объема. Открытие того факта, что для конкретного газа при постоянной температуре произведение давления на объем является константой, просто добавило что-то к нашему знанию о том, как ведут себя эти уже ранее известные переменные[4]. Громадное большинство научных достижений относится к этому нормальному виду развития. Но я не буду без нужды умножать примеры.
Как уже говорилось, переход от чувственного к абстрактному образу состоит в обобщении и упрощении чувственного образа. Переход к теоретической схеме совершается схематизацией абстрактного образа. Эти переходы делают неполным и приближенным соответствие теоретической схемы объекту. С
точки зрения формальной логики отличие теоретической схемы от объекта может доходить до абсурда. Например, при изучении плоского изгиба упомянутого выше призматического бруса, вместо бруса рассматривается его геометрическая ось, которой приписана изгибная жесткость (константа) бруса и к которой приложена схематизированная нагрузка. Перенести реальную нагрузку на геометрическую ось сплошного бруса невозможно. Этот перенос осуществляется только мысленно. В случае пустотелого бруса (трубы) геометрическая ось бруса проходит в пустоте. Следовательно, нагрузка в этом случае прикладывается к пустоте. Абсурдность этой схематизации очевидна. Но в результате такой схематизации легко составляется и легко решается дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса. Близость теоретических результатов к опытным данным хорошо подтверждается экспериментом. Для упрощения вычисления напряжений и деформаций материал бруса представляется изотропным, абсолютно сплошным и абсолютно однородным (упругие характеристики материала считаются константами по всему объему бруса). При этом пренебрегается атомарным и кристаллическим строением материала, но обеспечивается применение дифференциального и интегрального исчисления.
В самом деле, коренной недостаток абстракционной теории – в ее дуализме; она разобщает общее и одиночное. Чем шире объем понятия, говорит она, – тем беднее и ограниченнее его содержание. Но если вместе с ростом общности понятия растет и его неопределенность и отдаленность от полноты конкретной действительности, то самые общие понятия должны, очевидно, обладать наименьшею познавательною ценностью. Итак, – с точки зрения абстракционной теории – весь процесс обобщения и образования отвлеченных понятий представляется совершенно непригодным для целей объективного познания. Напротив, в
функциональных понятиях общее и единичное объединены отношением полной имманентности и взаимного проникновения. Общее есть закон единичного, необходимое условие его эмпирической реальности; а единичное есть экземпляр, частный случай общего закона, один из возможных случаев его конкретного осуществления. В функциональных понятиях общность не покупается ценою оскудения содержания и утраты однозначной определенности. Напротив, оно само есть высшая определенность, последний источник определенности единичного. Объем и содержание функционального понятия не связаны отношением отрицательной зависимости, а наоборот, содержание понятия (т. е. выражаемый им закон) определяет в положительном смысле его объем (т. е. пределы конституируемой им группы объектов).
Существует два приема построения моделей, где первый – это постепенный переход от нахождения простейших зависимостей, описывающих отдельные стороны изучаемой системы, к зависимостям, определяющим ее в достаточном объеме. Сначала на основе эмпирических исследований находят
простейшие зависимости, потом на основе синтеза получают более правдоподобную и цельную картину. Суть второго приема заключается в планомерном переходе от обобщенной модели, учитывающей только основные характеристики, к модели, показывающей изучаемый объект в более полном виде.
В понятии, как это принято в логике и философии, может быть представлено два составляющих компонента. Один из них – это объем понятия или его
значение, определяемое как класс предметов, который подходит под данное значение, другой – содержание, или смысл, представляющий совокупность общих и существенных признаков понятия, соответствующих этому классу. По меткому определению отечественного культуролога Ю.С. Степанова, содержание понятия – «это как бы сгусток культуры в сознании человека; то, в виде чего культура входит в ментальный мир человека… – это то, посредством чего человек – рядовой, обычный человек, не “творец культурных ценностей” – сам входит в культуру…» (Ю.С. Степанов, 2001. – С. 43).
Подчеркну еще раз, что чем больший у теории диапазон, тем меньше объем фонового знания, с которым она должна согласовываться. Всё больше и больше наблюдаемых данных подпадают под категорию фактов, которые теория должна объяснить: их больше, чем данных, которые она принимает на веру, объясняя другие вещи. Ньютон сформулировал общую теорию механики в то время, когда еще было накоплено мало существенных данных о немеханических явлениях. С тех пор было накоплено много научных данных, возникли теории, описывающие электричество, магнетизм, радиацию и т. д., и ученые пытаются развивать более фундаментальную теорию со всё большим и большим диапазоном для того, чтобы объяснить все эти теории более низких уровней. При этом когда мы оцениваем ту или иную теорию с точки зрения того, подходит ли она на роль фундаментальной теории, критерий согласованности с фоновым знанием становится всё менее и менее важным. «Теория всего» не будет иметь контингентных фоновых данных,
согласно которым можно будет определить предварительную вероятность: ее придется определять исключительно a priori.
Специфика современного наблюдательного и экспериментального естествознания связана прежде всего с быстрыми изменениями исследуемых состояний, недоступностью объектов, неоднозначностью в интерпретации опытных результатов, их теоретической нагруженностью
(то есть зависимостью от теории, на основе которой ставится опыт). Эти проблемы решаются также по-разному. Хорошо известен пример Архимеда, который смог установить наличие примесей в золотой короне (которую, конечно, нельзя было распиливать) гениально просто – по объему вытесненной жидкости. Вопреки легенде о ядрах, бросаемых Галилеем с пизанской башни, он в этом не нуждался (да и ничего бы это ему не дало, при том уровне измерительной техники). Сыграв в остроумную игру с природой, он судил об ускорении по количеству жидкости, вытекающей по желобам при различном наклоне (см. гл. 6). По крайней мере к XVII в. относятся свидетельства о создании на Земле такой «приборной ситуации», в которой для измерения скорости света (Олаф Рёмер) использовалось другое небесное тело (спутник Юпитера), отражавшее свет.
Основная форма классификаций, разрабатываемых систематиками-эмпириками в конце XVIII – начале XIX столетий, – иерархическая, хотя способы её представления весьма различны – от ступенчатых списков таксонов и классификационных деревьев до таксономических карт (см. 3.6.3). Увеличение
числа известных форм с необходимостью привело к усложнению линнеевской иерархии за счёт включения в неё дополнительных рангов. Так, в диссертации Г. Сторра по млекопитающим (G.C.C. Storr, Prodromus methodi mammalium…, 1780 г.) полная иерархия включает следующую последовательность ступеней: Classis, Phalanx, Cohors, Ordo, Missus, Sectio, Coetus, Genus (см. Павлинов, 2003в); из них по крайней мере когорта в последующем стала одной из популярных категорий (Simpson, 1945). В ботанической сводке Дж. Линдли появилась дробная иерархия над отрядных рангов: Класс, Подкласс, Альянс, Естественный порядок, Порядок (Lindley, 1836), которые этот автор трактует вполне номиналистически (Stevens, 1997а). Английский ботаник, умеренный номиналист Джордж* Бентам (George Bentham; 1800–1884), подобно Чезальпино начавший свою учёную карьеру как логик (его раннему перу принадлежит «Очерк новой системы логики») и затем классифицировавший растения преимущественно как логик (Stevens, 2002; McOuat, 2003), считает желательным использовать непоименованные интерполированные категории между основными линнеевскими рангами для сохранения оптимальных объёмов таксонов, выделенных Линнеем и Жюсьё (Bentham, 1875). Примечательно, что Бентам не верит в эквивалентность таксонов одного ранга, поэтому выступает против унификации названий по окончаниям; указанную эквивалентность в начале XIX века отвергал и английский ботаник Роберт Браун (Stevens, 1997а). Этот номиналистический взгляд на природу таксономических категорий если не по сути, то по форме замечательным образом совпадает с предложениями новейшей ультракладистики (см. 5.7.4.5).
Используя этот критерий выделения типов проектов, мы можем
говорить об отдельных, единичных программах различного вида и объема, а также о сложных, многосоставных проектах, компонентами которых являются уже вышеназванные единичные программы.
Некоторые из материальных свойств денотата вообще не воспроизводятся в знаке-изображении, а только выражаются (кодируются), то есть обозначаются условно. Например, черно-белая фотография (не в натуральную величину) воспроизводит пространственные характеристики предмета без сохранения метрического инварианта, но с
сохранением инварианта геометрического подобия для одних характеристик и аффинного инварианта для других (так, объем передается главным образом с помощью перспективы, т. е. аффинного преобразования). Модальные же характеристики объекта в этом изображении не отражены или выражены условно, «закодированы» (например, цвет, твердость и т. п.).
В эволюционном процессе бывает, что несколько таких снятий (отрицаний) следуют во времени друг за другом в одном социальном объеме. В этой связи я ввожу понятие эволюционного расстояния: это – число снятий между двумя состояниями объектов во времени. Вполне логично принять такое утверждение как аксиому: чем больше (меньше) эволюционное расстояние между двумя объектами, тем меньше (больше) влияние законов предшествующего на последующий. Действие этого закона в случае
больших эволюционных расстояний очевидно. Например, при рассмотрении социальных явлений мало кто считается с законами биологических клеток, молекул, атомов, электронов. Но при этом многие пытаются свести социальные явления к явлениям высокоразвитых живых организмов (социальная биология).
Мы поддерживаем следующие рассуждения Дж. Люгера: "…понимание естественного языка включает куда больше, чем разбор предложений на индивидуальные части речи и поиск значений слов в словаре. Оно базируется на обширном фоновом знании о предмете беседы и идиомах, используемых в этой области, так же, как и на способности применять общее контекстуальное знание для понимания недомолвок и неясностей, присущих человеческой речи. Задача сбора и организации этого фонового знания, чтобы его можно было применить к осмысливанию языка, составляет значительную проблему в автоматизации понимания естественного языка. Разработано множество методов структурирования семантических значений. Но, из-за огромных объемов знаний, требуемых для понимания естественного языка, большая часть работы ведется в хорошо понимаемых специализированных проблемных областях. Методики представления известных специализированных программ слишком просты, чтобы передать семантическую организацию более богатых и сложных предметных областей. Основная часть текущих работ в этой области направлена на поиск формализмов представления, которые должны быть достаточно общими, чтобы применяться в широком круге приложений и уметь адаптироваться к специфичной
структуре заданной области. Множество разнообразных методик, большинство из которых являются развитием или модификацией семантических сетей, исследуются с этой целью и используются при разработке программ, способных понимать естественный язык в ограниченных, но достаточно интересных предметных областях. Есть стохастические модели, описывающие совместное использование слов в языке, которые применяются для характеристики как синтаксиса, так и семантики. Далее следует принципиально важный вывод: полное понимание языка на вычислительной основе все же остается далеко за пределами современных возможностей" [264, стр. 47].
Не так давно было открыто и изучено явление, получившее название «странный аттрактор». Оказалось, что траектории многих детерминированных динамических систем могут полностью заполнять некоторый фазовый объем: в любой окрестности любой точки этого объема всегда
будут находиться точки, принадлежащие траектории одной и той же системы, порожденные одним и тем же начальным состоянием. Более того, этот объем будет притягивать и остальные траектории системы.
В работах С. Стернберга утверждается, что объем кратковременной памяти есть величина, зависимая от скорости сканирования. Экспериментально установлено, что время ответа линейно возрастает вместе с количеством цифр в наборе (Sternberg, 1966, 1969). Используя парадигму Стернберга, Дж. Каванах получил сходные результаты, показав, что время сканирования линейно связано с числом стимулов, подлежащих сравнению: с возрастанием сложности стимулов время поиска увеличивается. Для объяснения полученных данных Каванах предположил, что в кратковременной памяти одновременно может удерживаться константное
число признаков. Поэтому чем больше признаков имеет каждый из стимулов, тем больше будет время сканирования.
Для определения эффективности воздействия обучающих видео были выделены 14 критериев успешности пилотирования вертолетом. Из них только по двум есть статистически значимые различия. Наличие значимых различий лишь по двум из четырнадцати показателей может
быть связано с самой структурой построения эксперимента: у испытуемых было всего пять попыток, чтобы использовать усвоенные знания. Сравнительно большой объем информации, содержащийся в обоих обучающих видео, не запоминался полностью и, соответственно, не улучшал умение управлять вертолетом в той мере, насколько можно было бы ожидать. С другой стороны, стоит проанализировать, почему именно эти два показателя оказались наиболее чувствительны. По правилам испытуемые заканчивали попытку в двух случаях: либо когда вертолет улетал туда, откуда его невозможно достать, либо в том случае, когда вертолет падал на боковую часть, что считалось критически падением. Критическое падение было вызвано двумя основными причинами: столкновение с объектами (которые могли находиться на пути движения вертолета в полете или с боку от него либо же являться следствием конструкции вертолета – наличие балансира над винтами. В некоторых случаях объектом столкновения становился потолок) или неправильное использование регулятора высоты (резкие перемещения вертолета или, наоборот, резкое глушение мотора). Однако, кроме критических падений, были прикосновения к полу, вызванные разными причинами. Похоже, что в первую очередь полученные знания влияли на способность удерживать вертолет в воздухе и делали испытуемых более осторожными, что отражалось именно в этих двух показателях.
Итак, основополагающим методом истории, как и естественных наук, является типологический метод, начинающийся со сравнения объектов. Благодаря сравнению событий выстраиваются представления о группах сходных явлений, обозначаемых одним именем; выявляются границы, объемы этих групп, а также их содержание, устройство. В результате у исследователя появляется картина мира, которая позволяет выдвигать осмысленные гипотезы о новых свойствах явлений и проверять эти гипотезы, уточняя состав и строение групп сходства. Все эти познавательные операции начинаются со сравнения (гомологизации) явлений по их
частям (аспектам, признакам), организации рядов сравниваемых явлений. Значит, для того, чтобы ознакомиться, хотя бы поверхностным образом, с результатами работы сравнительного метода, нам придется сначала выстроить некоторое количество рядов сходных явлений в разных исторических целостностях. Только после этого можно будет представить, к чему подводит нас изучение истории сравнительным (типологическим) методом.
Как видим, предмет как объект действия и, соответственно, как объект восприятия понимается этими авторами по-разному. Для А. Н. Леонтьева – это объект в данности его свойств, которые затем могут и/или должны быть преобразованы в соответствии с целью действия. Для Д. А. Ошанина объект действия изначально преобразуем: «Для предметного действия – объект принципиально преобразуем. Как и любая преобразующая система, он функционально характеризуется некоторым количеством возможных состояний, которые могут быть либо статическими, либо динамическими» (Ошанин, 1999, с. 107). И в этом смысле объект для Ошанина до начала действия с ним характеризуется неопределенностью,
возможностью находиться в разных состояниях, но не сам по себе, а в контексте осуществляемого по отношению к нему перцептивного акта, другими словами – в контексте бытия перцептивного акта. Эта неопределенность снимается оперативностью отражения, когда субъект предметного действия отражает объект восприятия (предмет действия) не в полном объеме его возможных (гносеологически известных) свойств и состояний, а лаконично, функционально избирательно и, более того, функционально деформируя (искажая) объективные его свойства в релевантные, функционально необходимые для выполняемого действия.
Например, для решения некоторой задачи нужно выполнить точное микроперемещение небольшого объекта. Как быть? Фонд физических эффектов подскажет, что это можно сделать с помощью пьезоэффекта, магнитострикции, теплового расширения, эффекта
памяти формы, эффекта изменения объёма вещества при фазовых переходах и пр. Что из этого набора выбрать, инженер решает исходя из условий задачи.
Многие космологи и астрофизики утверждают, что всего этого уже достаточно, чтобы решить задачу о том, что происходит с Вселенной при приближении к сингулярности. Решения полученных ими уравнений показали, что при экстремальном сжатии Вселенной пространство рассыпается, квантовая геометрия не позволяет уменьшить его объем до нуля, неизбежно происходит остановка и вновь начинается расширение. Эту
последовательность состояний можно отследить как вперед, так и назад во времени, а значит, до Большого взрыва должен быть еще и Большой хлопок – коллапс «предыдущей» Вселенной. При этом свойства предыдущей Вселенной не теряются в процессе ее гибели, а передаются в нашу.
Ж. Пиаже утверждал, что интерпретация восприятия связана не столько с ассоциацией образов, сколько с действием: «Эти сенсорные образы не обладают собственным значением, если не координированы с сосанием, хватанием или иным действием, которое может обозначить потребность в
объекте. Более того, эти образы не обладают глубиной… Поэтому они представляют собой лишь пятна, которые появляются, двигаются и исчезают без учета объема или величины. Короче говоря, они не являются объектами, независимыми образами или образами, которые наполнены внешним содержанием… Позднее зрительные образы приобретают значение, связанное со слушанием, хватанием, дотрагиванием…»[40].
«Художественная воля» А. Ригля движется от гаптического принципа к оптическому. Осязание, согласно Риглю, дает представление о материальном строении вещи, фактуре, зрение создает представление о поверхности. При нормальной для человека дистанции наблюдения осязательное и визуальное находятся в равновесии. При чрезмерном приближении объекта зрение замещается осязанием, становится точечным. При удалении предмета от созерцателя возможность осязания исчезает и замещается воображаемым, моделируемым созерцанием. При доминировании оптического начала в образе плоскость приобретает идеализированную, субъективную трактовку, превращается в далевой образ. Динамика развития искусства, по Риглю, – от ближнего к дальнему, и импрессионизм есть крайняя точка такого далевого образа. Таким
образом, следствием теории Ригля является признание вариативности целого, факта усиления субъективного, воображаемого начала в образе, можно сказать, его пластической безосновности. Например, осязательно доступный объем сменяется моделированием с помощью светотени, менее определенного начала, чем скульптурный объем с его четкими границами.
Как
перейти фундаментальный рубеж и оказаться «по ту сторону», как найти «правдивую простоту»? Множество данных не дает знания, если не определены соединяющие их закономерности. Большой объем информации не ведет к пониманию, если клубок запутанных взаимосвязей не складывается в ясный, охватываемый человеческим сознанием Образ. Если его нет, если отсутствует «картинка», то закрыты пути для использования самого мощного известного нам генератора творческих решений: ассоциативного, метафорического, правополушарного человеческого мышления.
Чтобы разобраться с этим вопросом, заметим, что вершины тетраэдра, октаэдра и икосаэдра объединяют три, четыре и пять треугольников, сходящихся вместе, и зададим вопрос: «Что произойдет, если мы продолжим и их будет шесть?» Тогда мы поймем, что шесть равносторонних
треугольников, имеющих общую вершину, будут лежать на плоскости. Сколько ни повторяй этот плоский объект, он не позволит нам построить законченную фигуру, ограничивающую некий объем. Вместо этого фигура будет бесконечно распространяться по плоскости, как показано на илл. 6 (слева).
В ходе прослеживания отрезка глаз строго к нему привязан; движение совершается вдоль отрезка (как прямолинейного, так и криволинейного). Оценка проделанного глазом пути, соответствующего длине отрезка,
в условиях узкого поля зрения затруднена, а если диаметр поля зрения уменьшен до 1–0,5°, то и практически невозможна. Особенно отчетливо это проявляется в том случае, когда длина отрезка значительно превышает диаметр поля зрения и количество скачков при прослеживании становится больше 5–6 (вероятно, это как-то связано с объемом оперативной памяти). Испытуемый оценивает длину отрезка (в тех случаях, когда он в состоянии это сделать) весьма ориентировочно. Оценка производится на основе подсчета количества скачков, которые совершает глаз при прослеживании. Если испытуемому предлагают сравнить по длине два отрезка, то он подсчитывает количество скачков при прослеживании каждого из них и затем сопоставляет результаты. Таким образом, оценка длины отрезка осуществляется на речемыслительном, а не на непосредственно визуальном, перцептивном уровне.
2) единичные, если объем понятия составляет
лишь один предмет. Примерами единичных понятий являются «Солнце», «картина “Мона Лиза”» и др.;