Математические основы живописи и архитектуры

Т. П. Пушкарёва, 2014

В пособии рассмотрено применение математических фигур и расчетов в живописи и архитектуре, а также в теории цвета. Приведены примеры, способствующие усвоению теоретического материала. Предназначено для студентов классических и технических вузов художественного направления. Может быть полезно студентам при изучении курсов «Композиция» и «Дизайн», а также преподавателям художественных дисциплин.

§ 1. Математическое изобразительное искусство

В математическом изобразительном искусстве наиболее часто используют многогранники, тесселяции, ленты Мебиуса, невозможные фигуры, фракталы и искаженные перспективы. Отдельные работы могут включать в себя одновременно несколько перечисленных фигур и объектов.

Многогранник — это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона, или Платоновы тела (рис. 1).

Рис. 1. Платоновы тела: а — тетраэдр; б — куб; в — октаэдр; г — икосаэдр; д — додекаэдр

Существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда (рис. 2).

Рис. 2. Архимедовы тела: а — усеченный тетраэдр; б — кубооктаэдр; в — усеченный куб; г — усеченный икосаэдр; д — усеченный додекаэдр; е — усеченный кубооктаэдр; ж — усеченный октаэдр; з — усеченный икосододекаэдр; и — ромбокубооктаэдр; к — дважды усеченный куб (курносый куб); л — икосододекаэдр; м — ромбоикосододекаэдр; н — дважды усеченный додекаэдр (курносый додекаэдр)

Кроме этого, существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. Антипризма — полуправильный многогранник, у которого две параллельные грани (основания) — равные между собой правильные n-угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) — правильные треугольники (рис. 3).

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют звездчатые многогранники. Правильные звездчатые многогранники получаются из правильных многогранников путем продолжения их граней и ребер. Их всего четыре, и называются они телами Кеплера — Пуансо (рис. 4).

Рис. 3. Антипризмы

Рис. 4. Тела Кеплера–Пуансо

Тесселяции, известные также как покрытие плоскости плитками (tiling), являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселяции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодных для использования в правильных тесселяциях. Это правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник (рис. 5).

Рис. 5. Правильные тесселяции

Полуправильными тесселяциями называют такие тесселяции, в которых использованы правильные многоугольники двух или трех типов и все вершины одинаковы (рис. 6).

Рис. 6. Полуправильные тесселяции

Существует всего 8 полуправильных тесселяций. Вместе три правильных тесселяции и восемь полуправильных носят название Архимедовых.

Рис. 7. Невозможные фигуры

Рис. 8. Ленты Мебиуса

Невозможные фигуры — это фигуры, изображенные в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве (рис. 7).

Лента Мебиуса — это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, если перекрутить один из концов полоски, а затем склеить оба конца друг с другом (рис. 8).

Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область — анаморфное искусство. Слово анаморфный (anamorthic) состоит из двух греческих слов «ana» (снова) и «morthe» (форма). К анаморфным относятся изображения, настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение «формируется снова» в узнаваемую картину.

Рис. 9. Фракталы

Фрактал — это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей (рис. 9).

Вопросы для самоконтроля

1. Какие фигуры и объекты наиболее часто используются в математическом изобразительном искусстве?

2. Что такое многогранник?

3. Какие многогранники относятся к Платоновым телам?

4. Что такое тело Архимеда?

5. Какие многогранники называют призмами и антипризмами?

6. Какие многогранники называют телами Кеплера — Пуансо?

7. Что такое тесселяции?

8. Какие тесселяции называют правильными и полуправильными?

9. Какая фигура называется невозможной?

10. Что представляет собой лента Мебиуса?

11. Какие изображения называют анаморфными?

12. Что такое фрактал?