Значение слова «тензор»

• Те́нзор (от лат. tensus, «напряженный») — объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого.

  Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т. п.

  Часто тензор представляют как многомерную таблицу

  d

  ×

  d

  ×

  ⋯

  ×

  d

  {\displaystyle d\times d\times \cdots \times d}

  , заполненную числами — компонентами тензора (где

  d

  {\displaystyle d}

  — размерность векторного пространства, над которым задан тензор, а число сомножителей совпадает с т. н. валентностью или рангом тензора). Такие таблицы, в случае двумерного

  d

  ×

  d

  {\displaystyle d\times d}

  массива (тензор ранга 2), на письме отображают матричной записью:

  [

  σ

  11

  σ

  12

  σ

  13

  σ

  21

  σ

  22

  σ

  23

  σ

  31

  σ

  32

  σ

  33

  ]

  {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}

  Важно, что такое представление (кроме тензоров валентности ноль — скаляров) возможно только после выбора базиса (или системы координат): при смене базиса компоненты тензора меняются определённым образом.

  Сам тензор как «геометрическая сущность» от выбора базиса не зависит, что можно наглядно видеть на примере вектора, являющегося частным случаем тензора: компоненты вектора меняются при смене координатных осей, но сам вектор — образом которого может быть просто направленный отрезок — от этого не изменяется.

  Координаты тензора обычно обозначают некоторой буквой с совокупностью верхних (контрвариантных) и нижних (ковариантных) индексов:

  X

  j

  1

  j

  2

  …

  j

  s

  i

  1

  i

  2

  …

  i

  r

  {\displaystyle X_{j_{1}j_{2}\dots j_{s}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}}

  .

  При смене базиса ковариантные компоненты меняются так же, как и базис (с помощью того же преобразования), а контравариантные — обратно изменению базиса (обратным преобразованием).

  Термин «тензор» также часто служит сокращением для термина «тензорное поле», изучением которых занимается тензорное исчисление.

  Для обозначения тензоров на письме используется несколько подходов:

  1. запись основанная на координатах:

  матричная запись —

  [

  x

  ]

  {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\end{bmatrix}}}

  ,

  [

  x

  1

  x

  2

  ]

  {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}}

  ,

  [

  σ

  11

  σ

  12

  σ

  21

  σ

  22

  ]

  {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}}

  ,

  индексная запись —

  T

  i

  j

  …

  k

  ℓ

  …

  {\displaystyle T_{ij\dots }^{k\ell \dots }}

  ,

  X

  j

  1

  j

  2

  …

  j

  s

  i

  1

  i

  2

  …

  i

  r

  {\displaystyle X_{j_{1}j_{2}\dots j_{s}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}}

  или

  σ

  n

  m

  {\displaystyle \sigma _{nm}}

  ;

  1. прямая (иногда называется бескоординатная, безиндексная) форма записи:

  функциональная или операторная запись: переменные

  x

  ,

  y

  {\displaystyle x,y}

  , вектор

  v

  →

  {\displaystyle {\vec {v}}}

  , функция

  f

  (

  ⋅

  )

  {\displaystyle f(\cdot )}

  , оператор

  T

  {\displaystyle \mathbf {T} }

  или

  T

  (

  ⋅

  )

  {\displaystyle \mathbf {T} (\cdot )}

  ;

  графическая форма записи:

  предложенная Роджером Пенроузом диаграммная запись.

Источник: Википедия

• те́нзор

  1. матем. величина особого рода, задаваемая числами и законами их преобразования; является развитием и обобщением вектора и матрицы ◆ Тензоры ― математические представления матричной алгебры, в столбцах и строках матрицы стоят не числа, а векторы. Владимир Горбачев, «Концепции современного естествознания», 2003 г. (цитата из НКРЯ)

Источник: Викисловарь