Путеводитель для влюбленных в математику

Эдвард Шейнерман, 2017

Принято считать, что математика – наука точная и совершенно скучная, но Эдвард Шейнерман берется доказать обратное. Он утверждает, что математика бывает не менее увлекательной, чем гуманитарные дисциплины. Как объяснить тот факт, что бо́льшая часть окружающих нас чисел начинается на единицу, а тех, что начинаются на девятку, – совсем мало? Каков наилучший путь выиграть выборы, если победителями становятся больше двух кандидатов? Как понять, насколько можно доверять даже самому высокоточному медицинскому тесту? Можно ли покрыть весь пол паркетинами в виде правильных пятиугольников и не оставить зазоров? Как проверить, не сфабрикована ли налоговая отчетность, всего лишь проанализировав первые цифры денежной суммы? Может ли математика пролить свет на вопрос о свободе воли? Ответы на все эти и многие другие вопросы вы найдете в этой книге. Автор приглашает читателя испытать свои силы в решении математических головоломок и станет вашим гидом в захватывающем и комфортном путешествии по миру чисел, геометрических фигур и теории вероятностей. Достаточно школьных знаний алгебры, а итогом станет незабываемая радость знакомства с основами математического мышления.

Оглавление

* * *

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Путеводитель для влюбленных в математику предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

Купить и скачать полную версию книги в форматах FB2, ePub, MOBI, TXT, HTML, RTF и других

Переводчик Алексей Огнёв

Научный редактор Михаил Гельфанд

Редактор Александр Петров

Руководитель проекта А. Тарасова

Корректоры Е. Сметанникова, М. Ведюшкина

Компьютерная верстка М. Поташкин

© Edward Scheinerman, 2017

Originally published by Yale University Press

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2018

Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

* * *

Рейчел и Мордехаю

Просветительский фонд «Эволюция»

основан в 2015 году сообществом российских просветителей.

Цель фонда — популяризация научного мировоззрения, продвижение здравомыслия и гуманистических ценностей, развитие науки и образования. Одно из направлений работы фонда — поддержка издания научно-популярных книг.

Каждая книга, выпущенная при содействии фонда «Эволюция», тщательно отбирается серьезными учеными. Критерии отбора — научность содержания, увлекательность формы и значимость для общества.

Фонд сопровождает весь процесс создания книги — от выбора до выхода из печати. Поэтому каждое издание библиотеки фонда — праздник для любителей научно-популярной литературы.

Больше о работе просветительского фонда «Эволюция» можно узнать по адресу

www.evolutionfund.ru

Предисловие

Радость

Математика прекрасна и приносит радость[1]. Нам знакомы шедевры в разнообразных областях деятельности человека. В изобразительном искусстве — «Мона Лиза», в театре — «Гамлет», в биологии — открытие роли ДНК в наследственности, в археологии — расшифровка иероглифов с помощью Розеттского камня, в физике — уравнение E = mc². Понять шедевры математики сложнее, поэтому я просто хочу поделиться с вами собственными предпочтениями.

Музеи изобразительных искусств хранят огромные коллекции, но выставляют на всеобщее обозрение лишь некоторые предметы. Так же и я отобрал некоторые шедевры и хочу представить их вашему вниманию.

Эта книга не настолько мала, чтобы я ограничился одной-единственной математической драгоценностью, но если бы мне предложили выбрать таковую, я бы остановился на доказательстве того факта, что простых чисел бесконечно много[2]. Этот пример демонстрирует, чем я руководствовался, выбирая темы для своего «Путеводителя»:

• Они неизвестны людям, не имеющим отношения к математике. Читатели могут знать, что такое простое число, но вряд ли они задумывались над вопросом, сколько всего существует простых чисел.

• Они высвечивают идею доказательства, и в особенности технику доказательства от противного.

• Для их понимания не требуется вузовская подготовка — хватит знаний, полученных в средней школе.

• Они полны сюрпризов. Ответы неочевидны. Легко понять, что существует бесконечно много нечетных чисел или идеальных квадратов, но нет четкого закона, по которому простые числа следуют друг за другом. Поразительно, что короткая цепочка рассуждений приводит нас к неоспоримому выводу о том, что простые числа никогда не иссякнут.

• Они имеют практическое применение, например в случае простых чисел это криптография.

Хотя некоторые темы, затронутые в нашем «Путеводителе», не обладают всеми перечисленными свойствами, каждая глава книги рассказывает о математическом чуде, которое удивит и заинтригует читателя.

В 1940 году британский математик Годфри Харди[3] опубликовал «Апологию математика» — личное оправдание того обстоятельства, что он потратил жизнь на изучение абстракций. В книге Харди рассказывал, сколько радости и блаженства он испытал. Но говорить о радости занятия математикой — все равно что говорить о радости плавания. Пока вы лично не поплещетесь в прохладной воде, вы не поймете, насколько это здорово.

Боюсь, для многих получение математических знаний было безрадостным процессом. Представьте, что занятия словесностью свелись к изучению орфографии и пунктуации, а чтение «Гарри Поттера» и сочинение своих собственных историй оказались под запретом. Случись такое, школьники вряд ли бы стали любить литературу.

Вот несколько утрированная иллюстрация того, как некоторые воспринимают изучение математики:

• В начальной школе мне рассказали, что у меня было десять апельсинов, а потом три апельсина кто-то отнял. Зачем? Я бы и так с ним поделился.

• В средней школе я нашел общий знаменатель и подсчитал какие-то проценты.

• В старших классах меня заставили запомнить формулу корней квадратного уравнения[4], я до сих пор могу написать ее, но так и не понял, зачем она мне нужна.

Разумеется, в математике есть много прикладных задач, но среди прочего она обладает великой красотой. Моя цель — поделиться хотя бы частью этой красоты.

Обзор

Математика изучает числа и геометрические фигуры, и я выбрал эти темы для первых двух частей «Путеводителя».

В части под названием «Число» мы исследуем некоторые необычные числа (например, √2 и e) и последовательности чисел (например, простые числа и числа Фибоначчи). Кроме того, читателя ждет множество неожиданных вещей: он узнает, как одна бесконечность может быть бесконечнее другой и почему в нашем мире на цифру 1 начинается большее количество чисел, чем на цифру 9.

В части под названием «Геометрические фигуры» мы вспомним хороших двумерных знакомых (например, круги и окружности), а также познакомимся с трехмерными фигурами (например, платоновыми телами) и с фигурами, чья размерность больше одного, но меньше двух (с фракталами). Нас ждет немало сюрпризов. Так, все знают, как застелить пол плитками в форме квадратов или равносторонних шестиугольников, но такое возможно и в случае с равносторонними пятиугольниками. Ну что, я вас удивил? Заинтриговал? Этого-то я и добивался.

Завершается книга частью под названием «Неопределенность», там мы рассмотрим идеи случайности, непредсказуемости и интуитивных вычислений. Вы узнаете о том, как чрезвычайно надежный медицинский тест может давать неточные результаты, есть ли смысл в рейтингах и как правильно выбрать кандидата, когда их число больше двух. Как и прежде, вас ждут сюрпризы.

Последовательность глав произвольна, и вы можете читать их в любом удобном вам порядке[5]. Сложность материала разнится от главы к главе, так что вы ничего не потеряете, если пропустите самые заковыристые главы, чтобы вернуться к ним впоследствии.

Как читать математические книги?

Не торопитесь. Все главы короткие, но чтобы уловить их основные идеи, нужно время. Я часто прибегаю к вычислениям или алгебраическим выкладкам, чтобы подвести базу под те или иные утверждения. Вы лучше поймете, о чем идет речь, если вооружитесь карандашом и бумагой. Иногда вам нужно будет перечитывать какие-то абзацы, чтобы разобраться во всем досконально.

Можно читать не в одиночку. Предложите приятелю обсудить идеи из книги. Вам придется объяснять их таким образом, чтобы он уловил, о чем вы говорите. Это поможет вам лучше овладеть концепциями, о которых вы прочитали.

Главы устроены так, что самые замысловатые идеи расположены в конце. Лучше всего читать каждую главу последовательно с начала. Возможно, в какой-то момент вы решите остановиться и перейти к следующей главе.

Что касается обложки…

На обложке изображено множество решений уравнения:

(x² + y² — 1)³ = x²y³. (*)

Какая пара чисел (x, y) удовлетворяет этому уравнению? Например, x = 1 и y = 0 при подстановке в левую и правую часть дадут одно и то же число, а именно 0. Если мы подставим x = — 1 и y = 1, обе части (*) будут равны 1. Другими словами, пары (1, 0) и (–1, 1) являются решениями уравнения. Обратите внимание, что пара (0, 0) не является решением.

Существует бесконечно много решений уравнения, например x = 0,70711… и y = — 0,41401… Если мы подставим эти числа в формулу, обе части будут равны — 0,03548…

Бесконечное множество решений этого уравнения можно изобразить с помощью графика, если нанести на плоскость точки с координатами (x, y), где оба числа удовлетворяют уравнению (*). В этом случае мы получим изображение кривой в виде сердца, нарисованной на обложке.

Вы еще не полюбили математику? Когда дочитаете книгу, непременно полюбите.

Благодарности

Я хочу поблагодарить тех, кто давал плодотворные отзывы и полезные комментарии во время работы над книгой: Мордехая Леви-Эйчел, Джошуа Минкина, Йони Надив, Эми Шейнерман, Дэниела Шейнермана, Иону Шейнермана, Леонору Шейнерман, Наоми Шейнерман и Рейчел Шейнерман. Они читали черновик книги и давали полезные советы[6].

При подготовке книги к печати я получил замечательные отзывы рецензентов. О многих из этих людей я не знаю ничего, но имена некоторых, к счастью, мне известны. Спасибо за комментарии и энтузиазм Кристофу Бёрджерсу, Анне Лачовски и Джаядеву Атрейя.

Также я хочу поблагодарить Арта Беньямина за информацию о техасском холдеме в главе 19. Этот пример можно найти в задаче из книги Стюарта Айзера «Доктрина шансов: вероятностные аспекты азартных игр» (The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects Of Gambling).

Наконец, огромное спасибо за помощь издательству Йельского университета. Прежде всего — Джо Каламиа за его энтузиазм, множество полезных рекомендаций и ответы на мои непрерывные вопросы. Также я благодарю Энн-Мэри Имборнони за помощь при подготовке финальной версии, Лиз Кейси за дотошную редактуру, Соню Шэннон за дизайн, а Томаса Старра за великолепную обложку.

Оглавление

* * *

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Путеводитель для влюбленных в математику предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

Купить и скачать полную версию книги в форматах FB2, ePub, MOBI, TXT, HTML, RTF и других

Примечания

1

Кто-то сочтет, что слова «радость» и «красота» неприменимы к математике, но не стоит путать чудесную математику со скучной арифметикой. Мы же не ставим знак равенства между чтением великой литературы и зазубриванием правил орфографии. — Здесь и далее, кроме особенно оговоренных случаев, примечания автора.

2

Доказательство того, что простых чисел бесконечно много, вы обнаружите в главе 1.

3

Годфри Харди (1877–1947) — профессор Оксфордского и Кембриджского университетов, известный своими работами по теории чисел и математическому анализу. — Прим. пер.

4

5

Некоторые главы отсылают к предыдущим, но эта взаимосвязь слабо выражена.

6

Особенная благодарность Дэнни за идею названия книги и Ионе за рисунок подзорной трубы (см. главу 7).

Смотрите также

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я